Considere uma partícula livre
movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se
como sendo os estados normalizados de momento
.
(l) Mostre que
também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação
onde (em geral)
.
(II) Dado que
, normalize esse estado. Encontre
.
(l) Mostre que
(II) Dado que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potencial (
), movendo-se em um anel com circunferência
. Os estados normalizados de momento são dados por
, onde o momento é
. A questão tem duas partes:
- Mostrar que
é um estado de energia definida e encontrar essa energia usando a equação de Hamiltoniano. - Dado um estado inicial
, normalizar esse estado e encontrar e a função de probabilidade .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estados quânticos normalizados, operadores de Hamiltoniano, e a evolução temporal dos estados quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (l). Queremos mostrar que
é um estado de energia definida. Isso significa que, ao aplicar o operador Hamiltoniano
no estado
, obtemos o próprio estado multiplicado por uma energia
. A equação que queremos verificar é:
Sabemos que o Hamiltoniano é dado por:
Como
, a equação se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Sabemos que
é um estado de momento definido, então pode ser escrito na forma de uma função exponencial complexa:
onde
.
A segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo a segunda derivada de volta na equação do Hamiltoniano, temos:
Isso mostra que:
onde a energia
está definida como:
Passo 5
Vamos agora substituir
pela expressão dada:
Então, a energia fica:
Passo 6
Agora, vamos para a parte II da questão. Temos um estado inicial:
Primeiro, precisamos normalizar esse estado. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Passo 7
Para normalizar
, calculamos o fator de normalização
tal que:
Substituindo
:
Como
e
são estados normalizados e ortogonais, o integral se simplifica para:
Então, o estado normalizado é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a evolução temporal
. Em mecânica quântica, a evolução temporal de um estado estacionário
é dada por:
Onde
é a energia associada ao estado
.
Passo 9
Aplicando isso ao nosso estado inicial:
Lembrando que já encontramos a expressão para
:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a função de probabilidade
, que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
no tempo
, calculamos:
Isso envolve calcular o módulo ao quadrado da função de onda
.
Resposta
Parte (l): Mostramos que
é um estado de energia definida com energia
Parte (II): O estado inicial normalizado é
A evolução temporal desse estado é dada por
E a função de probabilidade é