Considere uma partícula livre movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se como sendo os estados normalizados de momento .
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potencial ( ), movendo-se em um anel com circunferência . Os estados normalizados de momento são dados por , onde o momento é . A questão tem duas partes:
  1. Mostrar que é um estado de energia definida e encontrar essa energia usando a equação de Hamiltoniano.
  2. Dado um estado inicial , normalizar esse estado e encontrar e a função de probabilidade .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estados quânticos normalizados, operadores de Hamiltoniano, e a evolução temporal dos estados quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (l). Queremos mostrar que é um estado de energia definida. Isso significa que, ao aplicar o operador Hamiltoniano no estado , obtemos o próprio estado multiplicado por uma energia . A equação que queremos verificar é:
Sabemos que o Hamiltoniano é dado por:
Como , a equação se simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Sabemos que é um estado de momento definido, então pode ser escrito na forma de uma função exponencial complexa:
onde .
A segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo a segunda derivada de volta na equação do Hamiltoniano, temos:
Isso mostra que:
onde a energia está definida como:

Passo 5

Vamos agora substituir pela expressão dada:
Então, a energia fica:

Passo 6

Agora, vamos para a parte II da questão. Temos um estado inicial:
Primeiro, precisamos normalizar esse estado. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

Passo 7

Para normalizar , calculamos o fator de normalização tal que:
Substituindo :
Como e são estados normalizados e ortogonais, o integral se simplifica para:
Então, o estado normalizado é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a evolução temporal . Em mecânica quântica, a evolução temporal de um estado estacionário é dada por:
Onde é a energia associada ao estado .

Passo 9

Aplicando isso ao nosso estado inicial:
Lembrando que já encontramos a expressão para :

Passo 10

Finalmente, para encontrar a função de probabilidade , que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição no tempo , calculamos:
Isso envolve calcular o módulo ao quadrado da função de onda .

Resposta

Parte (l): Mostramos que é um estado de energia definida com energia
Parte (II): O estado inicial normalizado é
A evolução temporal desse estado é dada por
E a função de probabilidade é

Exercícios relacionados

Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha de chance de estar no estado e de chance de estar no estado .
Para uma variável V que pode assumir N valores , com probabilidades , o valor médio é definido por
.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado for definida por

e a média sobre por
.
(I) Encontre e para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento . Faça uso de argumentos de simetria para encontrar , ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
.
Quanto é para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado , o momento médio é

Mostre que esta relação se reduz a

no caso de e de forma similar para , colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.
Considere uma corda fixa em e cujo deslocamento obedece à relação .
Assumindo que , encontre as equações obedecidas por F e por e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado evolui no tempo como .
Um próton no LHC tem energia de . Qual o seu comprimento de onda de de Broglie? Fazendo uso de , primeiro justifique porque o termo de massa pode ser desprezado. Qual será o comprimento de onda de um fóton de mesma energia?