Considere uma partícula livre movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se como sendo os estados normalizados de momento .
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação onde (em geral) .
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potencial (), movendo-se em um anel com circunferência . Os estados normalizados de momento são dados por , onde o momento é . A questão tem duas partes:
Mostrar que é um estado de energia definida e encontrar essa energia usando a equação de Hamiltoniano.
Dado um estado inicial , normalizar esse estado e encontrar e a função de probabilidade .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estados quânticos normalizados, operadores de Hamiltoniano, e a evolução temporal dos estados quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (l). Queremos mostrar que é um estado de energia definida. Isso significa que, ao aplicar o operador Hamiltoniano no estado , obtemos o próprio estado multiplicado por uma energia . A equação que queremos verificar é:
Sabemos que o Hamiltoniano é dado por:
Como , a equação se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Sabemos que é um estado de momento definido, então pode ser escrito na forma de uma função exponencial complexa:
onde .
A segunda derivada de em relação a é:
Passo 4
Substituindo a segunda derivada de volta na equação do Hamiltoniano, temos:
Isso mostra que:
onde a energia está definida como:
Passo 5
Vamos agora substituir pela expressão dada:
Então, a energia fica:
Passo 6
Agora, vamos para a parte II da questão. Temos um estado inicial:
Primeiro, precisamos normalizar esse estado. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Passo 7
Para normalizar , calculamos o fator de normalização tal que:
Substituindo :
Como e são estados normalizados e ortogonais, o integral se simplifica para:
Então, o estado normalizado é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a evolução temporal . Em mecânica quântica, a evolução temporal de um estado estacionário é dada por:
Onde é a energia associada ao estado .
Passo 9
Aplicando isso ao nosso estado inicial:
Lembrando que já encontramos a expressão para :
Passo 10
Finalmente, para encontrar a função de probabilidade , que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição no tempo , calculamos:
Isso envolve calcular o módulo ao quadrado da função de onda .
Resposta
Parte (l): Mostramos que é um estado de energia definida com energia