Considere uma partícula livre (V(x)=0) movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se psin(x) como sendo os estados normalizados de momento p=2 pi n hbar / L.
(l) Mostre que psin(x) também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação H psi=E psi onde (em geral)
H psi equiv-hbar^22 m partial^2 psi(x)partial x^2+V(x) psi(x).
(II) Dado que psi(x, 0)=3 psi2(x)+4 psi3(x), normalize esse estado. Encontre psi(x, t) e P(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potencial ( V(x) = 0), movendo-se em um anel com circunferência L. Os estados normalizados de momento são dados por psin(x), onde o momento é p = 2pi n hbarL. A questão tem duas partes:
  1. Mostrar que psin(x) é um estado de energia definida e encontrar essa energia usando a equação de Hamiltoniano.
  2. Dado um estado inicial psi(x, 0) = 3 psi2(x) + 4 psi3(x), normalizar esse estado e encontrar psi(x, t) e a função de probabilidade P(x, t).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estados quânticos normalizados, operadores de Hamiltoniano, e a evolução temporal dos estados quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (l). Queremos mostrar que psin(x) é um estado de energia definida. Isso significa que, ao aplicar o operador Hamiltoniano H no estado psin(x), obtemos o próprio estado multiplicado por uma energia E. A equação que queremos verificar é:
H psin(x) = E psin(x)
Sabemos que o Hamiltoniano é dado por:
H psi(x) = -hbar^22 m partial^2 psi(x)partial x^2 + V(x) psi(x)
Como V(x) = 0, a equação se simplifica para:
H psi(x) = -hbar^22 m partial^2 psi(x)partial x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de psin(x). Sabemos que psin(x) é um estado de momento definido, então pode ser escrito na forma de uma função exponencial complexa:
psin(x) = 1raizL e^i kn x
onde kn = 2pi nL.
A segunda derivada de psin(x) em relação a x é:
d^2 psin(x)dx^2 = 1raizL d^2dx^2 e^i kn x = 1raizL ( i kn )^2 e^i kn x = -kn^2 psin(x)

Passo 4

Substituindo a segunda derivada de volta na equação do Hamiltoniano, temos:
H psin(x) = -hbar^22 m ( -kn^2 psin(x) ) = hbar^2 kn^22 m psin(x)
Isso mostra que:
H psin(x) = E psin(x)
onde a energia E está definida como:
E = hbar^2 kn^22 m

Passo 5

Vamos agora substituir kn pela expressão dada:
kn = 2pi nL
Então, a energia fica:
E = hbar^22 m ( 2pi nL )^2 = 4pi^2 hbar^2 n^22 m L^2 = 2pi^2 hbar^2 n^2m L^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte II da questão. Temos um estado inicial:
psi(x, 0) = 3 psi2(x) + 4 psi3(x)
Primeiro, precisamos normalizar esse estado. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

Passo 7

Para normalizar psi(x, 0), calculamos o fator de normalização N tal que:
N^2 integral0^L |psi(x, 0)|^2 dx = 1
Substituindo psi(x, 0):
N^2 integral0^L |3 psi2(x) + 4 psi3(x)|^2 dx = 1
Como psi2(x) e psi3(x) são estados normalizados e ortogonais, o integral se simplifica para:
N^2 (3^2 + 4^2) = 1 N^2 (9 + 16) = 1 N^2 times 25 = 1 N = 15
Então, o estado normalizado é:
psi(x, 0) = 35 psi2(x) + 45 psi3(x)

Passo 8

Agora, vamos encontrar a evolução temporal psi(x, t). Em mecânica quântica, a evolução temporal de um estado estacionário psin(x) é dada por:
psin(x, t) = psin(x) e^-i En t / hbar
Onde En é a energia associada ao estado psin(x).

Passo 9

Aplicando isso ao nosso estado inicial:
psi(x, t) = 35 psi2(x) e^-i E2 t / hbar + 45 psi3(x) e^-i E3 t / hbar
Lembrando que já encontramos a expressão para En:
En = 2pi^2 hbar^2 n^2m L^2

Passo 10

Finalmente, para encontrar a função de probabilidade P(x, t), que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x no tempo t, calculamos:
P(x, t) = |psi(x, t)|^2
Isso envolve calcular o módulo ao quadrado da função de onda psi(x, t).

Resposta

Parte (l): Mostramos que psin(x) é um estado de energia definida com energia
E = 2pi^2 hbar^2 n^2m L^2
Parte (II): O estado inicial normalizado é
psi(x, 0) = 35 psi2(x) + 45 psi3(x)
A evolução temporal desse estado é dada por
psi(x, t) = 35 psi2(x) e^-i E2 t / hbar + 45 psi3(x) e^-i E3 t / hbar
E a função de probabilidade é
P(x, t) = | 35 psi2(x) e^-i E2 t / hbar + 45 psi3(x) e^-i E3 t / hbar |^2

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