Considere os dados experimentais da tabela abaixo. Encontre a área sobre a curva representada pelos pontos. Utilize a regra de integral adequada, regra Trapézio ou Primeira ou Segunda Regra de Simpson, de acordo os intervalos, aplique a regra que possibilita a maiot acurácia possivel de acordo com o número de pontos da tabela. Use precisão de 3 casas decimais.
|c|c|c|c|c|c|c|c| hline $x$ & 1.0 & 1,2 & 1,4 & 1,6 & 1,8 & 2,0 & 2,2 hline$y(x)$ & 1,000 & 1,823 & 2,081 & 3,185 & 3,522 & 4,702 & 5,123 hline mu 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
1,000 1,823 2,081 3,185 3,522 4,702 5,123
3 3 3 3 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos calcular a área sob a curva que é representada por alguns pontos experimentais. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo Numérico, mais especificamente das Regras de Integração Numérica. Para resolver isso, vamos usar a regra que nos dá a maior precisão possível com o número de pontos que temos, que, no caso, são 7 pontos. Vamos precisar entender um pouco sobre a Regra de Simpson e a Regra do Trapézio para escolher a melhor opção.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c|c|c|c|c|c|c| hline x & 1.0 & 1.2 & 1.4 & 1.6 & 1.8 & 2.0 & 2.2 hline y(x) & 1.000 & 1.823 & 2.081 & 3.185 & 3.522 & 4.702 & 5.123 hline
Temos 7 pontos, o que significa que temos 6 intervalos (porque o número de intervalos é sempre o número de pontos menos um). Como temos um número par de intervalos, podemos aplicar a Regra de Simpson 1/3, que é mais precisa que a Regra do Trapézio para esse caso.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona a Regra de Simpson 1/3. A fórmula geral é:
Área approx h3 [ y0 + 4(y1 + y3 + y5) + 2(y2 + y4) + y6 ] Á
Onde:
  • é a largura de cada intervalo.
  • são os valores de nos pontos correspondentes.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular h = 2.2 - 1.06 = 1.26 = 0.2 , que é a diferença entre dois valores consecutivos de :

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula da Regra de Simpson 1/3:
Área approx 0.23 [ 1.000 + 4(1.823 + 3.185 + 4.702) + 2(2.081 + 3.522) + 5.123 ] Á

Passo 6

Vamos calcular cada parte dentro dos colchetes separadamente:
4(1.823 + 3.185 + 4.702) = 4(9.710) = 38.840
2(2.081 + 3.522) = 2(5.603) = 11.206
Somando tudo:
1.000 + 38.840 + 11.206 + 5.123 = 56.169

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo fator Área approx 0.23 times 56.169 approx 0.0666667 times 56.169 approx 3.744 :
Á

Resposta

A área sob a curva representada pelos pontos é aproximadamente 3,744 unidades quadradas.

Exercícios relacionados