Considere o desenvolvimento de f(x)= cosec(x) em série, até o quarto termo,
cosec(x) approx 1x+x6+7 x^3360+31 x^515120
Determine aproximadamente o erro relativo que se comete ao considerar essa expansão em relação ao valor correto cosec(1,1)=1,12207332.
(a) 0,04989 %
(b) 0,02079 %
© 0,04158 %
(d) 0,06237%
(e) Não sei

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve a expansão em série da função cosec(x). O objetivo é calcular aproximadamente o erro relativo ao usar essa série até o quarto termo, comparando com o valor correto dado. Para isso, vamos precisar calcular a aproximação da série e depois determinar o erro relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a expansão em série fornecida para cosec(x) até o quarto termo:
cosec(x) approx 1x + x6 + 7x^3360 + 31x^515120
Como queremos calcular para x = 1,1, substituímos na expressão:
cosec(1,1) approx 11,1 + 1,16 + 7 times (1,1)^3360 + 31 times (1,1)^515120

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 11,1 approx 0,9091
  2. 1,16 approx 0,1833
  3. (1,1)^3 = 1,331, então 7 times 1,331360 approx 0,0258
  4. (1,1)^5 = 1,61051, então 31 times 1,6105115120 approx 0,0033
Somando todos os termos:
0,9091 + 0,1833 + 0,0258 + 0,0033 approx 1,1215

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro absoluto entre o valor aproximado e o valor correto:
Erro absoluto = |1,12207332 - 1,1215| approx 0,00057332

Passo 5

Para encontrar o erro relativo, usamos a fórmula:
Erro relativo = ( Erro absolutoValor correto ) times 100% approx ( 0,000573321,12207332 ) times 100% approx 0,051%
Comparando com as opções, o valor mais próximo é 0,04989 %.

Resposta

(a) 0,04989 %

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