Considere o desenvolvimento de f(x)=ln (x) em série,
ln (x+1)=sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
Determine aproximadamente o erro relativo ( em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto ln (1,73)= 0,548121409,
ln (x+1) approx x-x^22+x^33-x^44
(a) 7,08639 %
(b) 47,24260 %
© 2,36213 %
(d) 4,72426 %
(e) Não sei

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a expansão em série da função ln(x+1). Precisamos calcular o erro relativo aproximado ao truncar a série após o termo de ordem x^4. Para isso, vamos utilizar a série de Taylor e comparar o valor aproximado com o valor correto de ln(1,73) = 0,548121409.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de Taylor para ln(x+1):
ln(x+1) = sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
Isso significa que podemos aproximar ln(x+1) usando os primeiros termos da série.

Passo 3

No exercício, a aproximação fornecida é:
ln(x+1) approx x - x^22 + x^33 - x^44
Vamos usar essa expressão para calcular o valor aproximado de ln(1,73).

Passo 4

Substituindo x = 0,73 (já que 1,73 = 1 + 0,73) na expressão:
ln(1,73) approx 0,73 - 0,73^22 + 0,73^33 - 0,73^44
Vamos calcular cada termo:
  1. 0,73
  2. -0,73^22 = -0,53292 = -0,26645
  3. 0,73^33 = 0,3890173 approx 0,129672
  4. -0,73^44 = -0,283982414 approx -0,070996

Passo 5

Somando os termos:
0,73 - 0,26645 + 0,129672 - 0,070996 approx 0,522226
Então, o valor aproximado é 0,522226.

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro relativo. A fórmula do erro relativo é:
Erro Relativo = |Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato| times 100%
Substituindo os valores:
Erro Relativo = |0,522226 - 0,5481214090,548121409| times 100% approx |-0,0258950,548121409| times 100% approx 4,727%

Resposta

A resposta correta é a letra (d) 4,72426 %.

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