Determine aproximadamente o erro relativo (em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto tg(0.35)=0,365028495 ;
tg(x) approx x+x^33+2 x^515+17 x^7315
(a) 0,000101
(b) 0,000497
© 0,000327
(d) 0,000285
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o erro relativo (em porcentagem) quando usamos uma aproximação da função tangente (tg) truncada em relação ao valor exato de tg(0.35) = 0,365028495. Usaremos uma expansão em série para aproximar a tangente e, em seguida, compararemos com o valor correto para encontrar o erro. Para isso, vamos precisar calcular cada termo da série e seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expansão que temos:
tg(x) approx x + x^33 + 2x^515 + 17x^7315
Essa é uma aproximação da função tangente usando termos até x^7. Nosso objetivo é calcular essa soma para x = 0,35 e comparar com o valor exato de tg(0,35) para encontrar o erro relativo.

Passo 3

Vamos calcular cada termo da expansão separadamente:
  1. Primeiro termo: x = 0,35
  2. Segundo termo: x^33 = (0,35)^33 = 0,0428753 approx 0,0142917
  3. Terceiro termo: 2x^515 = 2 times (0,35)^515 = 2 times 0,0052521915 approx 0,010504415 approx 0,00070029
  4. Quarto termo: $\frac{17x^{7}}{315} = \frac{17 \times (0,35)^{7}}{315} = \frac{17 \times 0,00052521875}{315} \approx \frac{0,00892871875}{315} \approx 0,000028356`

Passo 4

Agora, somamos todos os termos calculados para obter a aproximação de tg(0,35):
tg(0,35) approx 0,35 + 0,0142917 + 0,00070029 + 0,000028356 approx 0,365020

Passo 5

Em seguida, comparamos esse valor aproximado com o valor exato fornecido:
  • Valor aproximado: 0,365020
  • Valor exato: 0,365028495

Passo 6

Calculamos a diferença entre o valor exato e o aproximado:
Diferença = |0,365028495 - 0,365020| = 0,000008495 ç

Passo 7

Agora, para encontrar o erro relativo em porcentagem, usamos a fórmula:
Erro Relativo (%) = ( DiferençaValor Exato ) times 100 ç
Substituindo os valores:
Erro Relativo (%) = ( 0,0000084950,365028495 ) times 100 approx 0,002328%

Resposta

Aproximadamente 0,002328% de erro relativo foi cometido. A opção mais próxima é a letra © 0,000327.

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