Considere o desenvolvimento de f(x)= ln (x) em série,
ln (x+1)=sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
Determine aproximadamente o erro relativo ( em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto ln (1,99)= 0,688134639 ,
ln (x+1) approx x-x^22+x^33-x^44
(a) 7,62210 %
(b) 15,24420 %
© 152,44203 %
(d) 22,86630 %
(e) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = ln(x+1) expandida em série de Taylor:
ln(x+1) = sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
Queremos determinar o erro relativo (em %) quando truncamos essa série após o termo de x^4 para aproximar o valor de ln(1,99) = 0,688134639. Para isso, vamos precisar calcular a aproximação usando os primeiros quatro termos da série e comparar com o valor exato.

Passo 2

Vamos começar substituindo x por 0,99, já que x + 1 = 1,99. A série truncada fica assim:
ln(1,99) approx 0,99 - 0,99^22 + 0,99^33 - 0,99^44
Agora, vamos calcular cada termo individualmente.

Passo 3

Calculando cada termo da expressão:
  1. Primeiro termo: 0,99
  2. Segundo termo: -0,99^22 = -0,98012 = -0,49005
  3. Terceiro termo: 0,99^33 = 0,9702993 approx 0,323433
  4. Quarto termo: -0,99^44 = -0,960596014 approx -0,240149

Passo 4

Agora, somamos todos os termos calculados:
0,99 - 0,49005 + 0,323433 - 0,240149 approx 0,583234
Portanto, nossa aproximação para ln(1,99) é de aproximadamente 0,583234.

Passo 5

Para encontrar o erro relativo, usamos a fórmula:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato | times 100%
Substituindo os valores:
Erro Relativo = | 0,583234 - 0,6881346390,688134639 | times 100% approx | -0,10490060,688134639 | times 100% approx 15,24420%

Resposta

A opção correta é a letra (b) 15,24420 %.

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