Considere o desenvolvimento de f(x)= sec (x) em série. Determine aproximadamente o erro relativo (em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto sec (0,87)=1,55080464;
sec (x) approx 1+x^22+5 x^424+61 x^6720
(a) 3.41764
(b) 1.04869
© 1.15980
(d) 2,95456
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o erro relativo, em percentual, que ocorre quando aproximamos a função f(x) = sec(x) usando uma série truncada. A gente tem a expansão em série de Taylor de sec(x) até o termo de x^6 e precisa comparar essa aproximação com o valor exato de sec(0,87) = 1,55080464.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aproximação de sec(0,87) usando a série truncada fornecida:
sec(x) approx 1 + x^22 + 5x^424 + 61x^6720
Substituindo x = 0,87:
sec(0,87) approx 1 + (0,87)^22 + 5(0,87)^424 + 61(0,87)^6720

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. (0,87)^22 = 0,75692 = 0,37845
  2. 5(0,87)^424 = 5 times 0,567124 approx 2,835524 approx 0,11815
  3. 61(0,87)^6720 = 61 times 0,3537720 approx 21,6057720 approx 0,03001

Passo 4

Agora, somamos todos os termos:
1 + 0,37845 + 0,11815 + 0,03001 approx 1,5266

Passo 5

Sabemos que o valor exato é 1,55080464. Para encontrar o erro relativo, usamos a fórmula:
Erro Relativo = |Valor Exato - AproximaçãoValor Exato| times 100% çã
Substituindo os valores:
Erro Relativo = |1,55080464 - 1,52661,55080464| times 100% approx |0,02421,5508| times 100% approx 1,56%

Resposta

A alternativa que mais se aproxima desse valor é a letra (b) 1.04869.

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