Considere o desenvolvimento de f(x)= sen(x) em série,
sen(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
Determine aproximadamente o erro relativo (em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto sen(2,18)= 0,820103948 ;
sen(x) approx x-x^33!+x^55!
(a) 5,30304
(b) 6,36365
© 2,65152
(d) 7,95456
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o erro relativo ao aproximar a função seno de 2,18 usando uma série truncada. A matéria envolvida aqui é Séries de Taylor e Cálculo de Erros. Para isso, vamos usar a expansão da série de Taylor do seno e comparar a aproximação com o valor exato.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do seno:
sen(x) = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Neste exercício, a gente vai truncar a série depois do termo de sen(x) approx x - x^33! + x^55! :

Passo 3

Vamos calcular cada termo da aproximação para 2,18 times 2,18 = 4,7524 :
  1. Primeiro termo: 4,7524 times 2,18 approx 10,360232
  2. Segundo termo: 10,3602326 approx 1,726705
    • Calculando 2,18^2 = 4,7524 : 4,7524 times 4,7524 approx 22,5853 22,5853 times 2,18 approx 49,235
    • Então: 49,235120 approx 0,410291
  3. Terceiro termo:
    • Calculando :
    • Então:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos para obter a aproximação:
sen(2,18) approx 2,18 - 1,726705 + 0,410291 approx 0,863586

Passo 5

Sabemos que o valor exato de Erro relativo = | Aproximação - Valor ExatoValor Exato | times 100% é 0,820103948. Vamos calcular o erro relativo:
Erro relativo = | 0,863586 - 0,8201039480,820103948 | times 100% approx 5,303% çã
Substituindo:

Resposta

(a) 5,30304

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