Considere o desenvolvimento de
em série,
Determine aproximadamente o erro relativo (em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto
0,820103948 ;
(a) 5,30304
(b) 6,36365
© 2,65152
(d) 7,95456
(e) Não sei
(b) 6,36365
© 2,65152
(d) 7,95456
(e) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o erro relativo ao aproximar a função seno de 2,18 usando uma série truncada. A matéria envolvida aqui é Séries de Taylor e Cálculo de Erros. Para isso, vamos usar a expansão da série de Taylor do seno e comparar a aproximação com o valor exato.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do seno:
Neste exercício, a gente vai truncar a série depois do termo de
:
Passo 3
Vamos calcular cada termo da aproximação para
:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
- Calculando
: - Então:
- Calculando
-
Terceiro termo:
- Calculando
: - Então:
- Calculando
Passo 4
Agora, vamos somar os termos para obter a aproximação:
Passo 5
Sabemos que o valor exato de
é 0,820103948. Vamos calcular o erro relativo:
Substituindo:
Resposta
(a) 5,30304