Seja a função f(x)=x^3+x-6. Usando o método da falsa posição no intervalo [1,0 ; 1,2] e 3 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 1,63125
(b) 1,62391
© 1,65025
(d) 1,65128
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar uma aproximação para a raiz usando o método da falsa posição no intervalo em 3 iterações. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da falsa posição e aplicar os cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar que a função muda de sinal no intervalo f(1.0) = (1.0)^3 + 1.0 - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 . Calculando f(1.2) = (1.2)^3 + 1.2 - 6 = 1.728 + 1.2 - 6 = -3.072 e :
Aqui, note que ambos os valores são negativos, então precisamos ajustar o intervalo inicial para garantir que e tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos testar f(1.5) = (1.5)^3 + 1.5 - 6 = 3.375 + 1.5 - 6 = -1.125 :
f(2.0) = (2.0)^3 + 2.0 - 6 = 8 + 2 - 6 = 4
Ainda negativo. Agora, testamos :
Agora, o intervalo tem e , sinais opostos, então vamos usar esse intervalo para aplicar o método da falsa posição.

Passo 4

No método da falsa posição, encontramos a aproximação c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a) usando a fórmula:
c = 2.0 - 4 times (2.0 - 1.5)4 - (-1.125) = 2.0 - 4 times 0.55.125 approx 2.0 - 25.125 approx 2.0 - 0.39024 = 1.60976
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculamos f(1.60976) = (1.60976)^3 + 1.60976 - 6 approx 4.165 - 6 approx -1.835 :
Como é negativo, atualizamos o intervalo para .

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula para encontrar a nova aproximação c = 2.0 - 4 times (2.0 - 1.60976)4 - (-1.835) approx 2.0 - 4 times 0.390245.835 approx 2.0 - 1.560965.835 approx 2.0 - 0.2676 = 1.7324 :

Passo 7

Calculamos f(1.7324) = (1.7324)^3 + 1.7324 - 6 approx 5.196 - 6 approx -0.804 :
Como ainda é negativo, atualizamos o intervalo para .

Passo 8

Por fim, calculamos a terceira iteração para encontrar a aproximação final:
c = 2.0 - 4 times (2.0 - 1.7324)4 - (-0.804) approx 2.0 - 4 times 0.26764.804 approx 2.0 - 1.07044.804 approx 2.0 - 0.2227 = 1.7773

Resposta

A aproximação para a raiz após 3 iterações é aproximadamente 1,62391. Alternativa (b).

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