Considere o elétron em um átomo de H no estado excitado. O comprimento de onda que ioniza esse elétron é 1460 nm . (a) Qual o número quântico principal desse estado excitado em que esse elétron se encontrava? (b) Qual a região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para levar o átomo de hidrogênio do estado fundamental para o nível energético do estado excitado encontrado no item a?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio e energia dos elétrons. A gente vai precisar entender um pouco sobre os níveis de energia dos elétrons no átomo de hidrogênio, a relação entre energia e comprimento de onda da luz, e os números quânticos principais que indicam os níveis de energia. O exercício tem duas partes: primeiro, descobrir o número quântico principal do estado excitado do elétron, e segundo, identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que podem levar o átomo do estado fundamental para esse estado excitado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de onda ( ) necessário para ionizar o elétron está relacionado à energia dessa luz. A energia ( ) de um fóton é dada pela relação:
Onde:
  • é a constante de Planck ( ),
  • é a velocidade da luz ( ),
  • é o comprimento de onda.
Como o comprimento de onda dado é 1460 nm, vamos converter para metros:

Passo 3

Calculando a energia do fóton que ioniza o elétron:
Vamos simplificar as potências de 10:

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa energia à ionização do elétron no átomo de hidrogênio. A energia necessária para ionizar o elétron do estado fundamental é igual à energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é aproximadamente . Porém, como estamos lidando com um estado excitado, a energia do estado excitado ( ) será maior (menos negativa).
A energia para ionizar a partir do estado excitado é:
çã
Onde é a energia de ionização do estado fundamental ( ). Convertendo a energia do fóton para elétron-volt (1 eV = ):
Então:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula dos níveis de energia do átomo de hidrogênio:
Onde é o número quântico principal. Já sabemos que (o sinal negativo indica que está ligado). Vamos igualar as duas expressões:
Ignorando os sinais negativos:
Resolvendo para :
Como deve ser um número inteiro, o próximo número é .

Passo 6

Então, o número quântico principal do estado excitado é .
Agora, para a segunda parte, precisamos identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que têm a energia necessária para levar o átomo do estado fundamental ( ) para o estado excitado ( ).
A energia necessária para essa transição é a diferença entre as energias dos dois estados:
Calculando:
Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda:
Primeiro, convertemos a energia para Joules:
Então:
Calculando:
Convertendo para nanômetros:
Essa região corresponde à faixa ultravioleta do espectro da luz.

Resposta

(a) O número quântico principal do estado excitado é .
(b) A região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para essa transição está na faixa do ultravioleta.

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