Considere o elétron em um átomo de H no estado excitado. O comprimento de onda que ioniza esse elétron é 1460 nm . (a) Qual o número quântico principal desse estado excitado em que esse elétron se encontrava? (b) Qual a região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para levar o átomo de hidrogênio do estado fundamental para o nível energético do estado excitado encontrado no item a?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio e energia dos elétrons. A gente vai precisar entender um pouco sobre os níveis de energia dos elétrons no átomo de hidrogênio, a relação entre energia e comprimento de onda da luz, e os números quânticos principais que indicam os níveis de energia. O exercício tem duas partes: primeiro, descobrir o número quântico principal do estado excitado do elétron, e segundo, identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que podem levar o átomo do estado fundamental para esse estado excitado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de onda (
) necessário para ionizar o elétron está relacionado à energia dessa luz. A energia (
) de um fóton é dada pela relação:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda.
Como o comprimento de onda dado é 1460 nm, vamos converter para metros:
Passo 3
Calculando a energia do fóton que ioniza o elétron:
Vamos simplificar as potências de 10:
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa energia à ionização do elétron no átomo de hidrogênio. A energia necessária para ionizar o elétron do estado fundamental é igual à energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é aproximadamente
. Porém, como estamos lidando com um estado excitado, a energia do estado excitado (
) será maior (menos negativa).
A energia para ionizar a partir do estado excitado é:
Onde
é a energia de ionização do estado fundamental (
). Convertendo a energia do fóton para elétron-volt (1 eV =
):
Então:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula dos níveis de energia do átomo de hidrogênio:
Onde
é o número quântico principal. Já sabemos que
(o sinal negativo indica que está ligado). Vamos igualar as duas expressões:
Ignorando os sinais negativos:
Resolvendo para
:
Como
deve ser um número inteiro, o próximo número é
.
Passo 6
Então, o número quântico principal do estado excitado é
.
Agora, para a segunda parte, precisamos identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que têm a energia necessária para levar o átomo do estado fundamental (
) para o estado excitado (
).
A energia necessária para essa transição é a diferença entre as energias dos dois estados:
Calculando:
Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda:
Primeiro, convertemos a energia para Joules:
Então:
Calculando:
Convertendo para nanômetros:
Essa região corresponde à faixa ultravioleta do espectro da luz.
Resposta
(a) O número quântico principal do estado excitado é
.
(b) A região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para essa transição está na faixa do ultravioleta.