Considere o elétron em um átomo de H no estado excitado. O comprimento de onda que ioniza esse elétron é 1460 nm . (a) Qual o número quântico principal desse estado excitado em que esse elétron se encontrava? (b) Qual a região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para levar o átomo de hidrogênio do estado fundamental para o nível energético do estado excitado encontrado no item a?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio e energia dos elétrons. A gente vai precisar entender um pouco sobre os níveis de energia dos elétrons no átomo de hidrogênio, a relação entre energia e comprimento de onda da luz, e os números quânticos principais que indicam os níveis de energia. O exercício tem duas partes: primeiro, descobrir o número quântico principal do estado excitado do elétron, e segundo, identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que podem levar o átomo do estado fundamental para esse estado excitado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de onda ( lambda) necessário para ionizar o elétron está relacionado à energia dessa luz. A energia ( E) de um fóton é dada pela relação:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , Js),
  • c é a velocidade da luz ( 3,0 times 10^8 , m/s),
  • lambda é o comprimento de onda.
Como o comprimento de onda dado é 1460 nm, vamos converter para metros:
1460 , nm = 1460 times 10^-9 , m

Passo 3

Calculando a energia do fóton que ioniza o elétron:
E = 6,626 times 10^-34 times 3,0 times 10^81460 times 10^-9 , J
Vamos simplificar as potências de 10:
E = 6,626 times 3,01460 times 10^-34 + 8 + 9 , J
E = 19,8781460 times 10^-17 , J
E approx 0,01363 times 10^-17 , J
E approx 1,363 times 10^-19 , J

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa energia à ionização do elétron no átomo de hidrogênio. A energia necessária para ionizar o elétron do estado fundamental é igual à energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio, que é aproximadamente -13,6 , eV. Porém, como estamos lidando com um estado excitado, a energia do estado excitado ( En) será maior (menos negativa).
A energia para ionizar a partir do estado excitado é:
Eionização = Eion - En çã
Onde Eion é a energia de ionização do estado fundamental ( 13,6 , eV). Convertendo a energia do fóton para elétron-volt (1 eV = 1,602 times 10^-19 , J):
E approx 1,363 times 10^-191,602 times 10^-19 , eV approx 0,851 , eV
Então:
0,851 , eV = 13,6 , eV - En
En = 13,6 , eV - 0,851 , eV = 12,749 , eV

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula dos níveis de energia do átomo de hidrogênio:
En = -13,6 , eVn^2
Onde n é o número quântico principal. Já sabemos que En = -12,749 , eV (o sinal negativo indica que está ligado). Vamos igualar as duas expressões:
-12,749 , eV = -13,6 , eVn^2
Ignorando os sinais negativos:
12,749 = 13,6n^2
Resolvendo para n^2:
n^2 = 13,612,749 approx 1,066
n approx raiz1,066 approx 1,033
Como n deve ser um número inteiro, o próximo número é n=2.

Passo 6

Então, o número quântico principal do estado excitado é n=2.
Agora, para a segunda parte, precisamos identificar em qual região do espectro da luz estão os fótons que têm a energia necessária para levar o átomo do estado fundamental ( n=1) para o estado excitado ( n=2).
A energia necessária para essa transição é a diferença entre as energias dos dois estados:
De
Calculando:
E1 = -13,6 , eV
E2 = -13,62^2 = -3,4 , eV
De
Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda:
lambda = hcDe
Primeiro, convertemos a energia para Joules:
De
Então:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3,0 times 10^81,634 times 10^-18 , m
Calculando:
lambda approx 1,9878 times 10^-251,634 times 10^-18 , m approx 1,216 times 10^-7 , m
Convertendo para nanômetros:
lambda approx 121,6 , nm
Essa região corresponde à faixa ultravioleta do espectro da luz.

Resposta

(a) O número quântico principal do estado excitado é n = 2.
(b) A região do espectro da luz que contém fótons com a energia necessária para essa transição está na faixa do ultravioleta.

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