Considere um elétron confinado em um sistema finito. O estado do elétron é descrito pela função de onda , em que é uma constante. Assuma que a energia potencial é zero, ou . Qual é a energia do elétron?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso em um sistema finito, e a função de onda que descreve o estado desse elétron é . Além disso, a energia potencial é zero. Nosso objetivo é encontrar a energia desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, mais especificamente, a relação entre a função de onda e a energia através do operador Hamiltoniano.

Passo 2

Na mecânica quântica, a energia total de um sistema é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano . Quando a energia potencial é zero, o Hamiltoniano representa apenas a energia cinética do sistema. A expressão do Hamiltoniano nesse caso é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a massa do elétron. Esse operador atua na função de onda para nos dar a energia do sistema.

Passo 3

Para encontrar a energia do elétron, vamos aplicar o operador Hamiltoniano na função de onda :
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas da função de onda:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão do Hamiltoniano:
Isso mostra que é uma função própria do operador Hamiltoniano com autovalor .

Resposta

A energia do elétron é .

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