Considere um elétron confinado em um sistema finito. O estado do elétron é descrito pela função de onda psi(x)=raiz2 sen k pi x, em que k é uma constante. Assuma que a energia potencial é zero, ou V(x)=0. Qual é a energia do elétron?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso em um sistema finito, e a função de onda que descreve o estado desse elétron é psi(x) = raiz2 sin(k pi x). Além disso, a energia potencial V(x) é zero. Nosso objetivo é encontrar a energia desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, mais especificamente, a relação entre a função de onda e a energia através do operador Hamiltoniano.

Passo 2

Na mecânica quântica, a energia total de um sistema é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano H. Quando a energia potencial V(x) é zero, o Hamiltoniano representa apenas a energia cinética do sistema. A expressão do Hamiltoniano nesse caso é:
H = -hbar^22m d^2dx^2
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa do elétron. Esse operador atua na função de onda para nos dar a energia do sistema.

Passo 3

Para encontrar a energia do elétron, vamos aplicar o operador Hamiltoniano na função de onda psi(x):
H psi = -hbar^22m d^2 psidx^2
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de psi(x) em relação a x.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas da função de onda:
psi(x) = raiz2 sin(k pi x)
Primeira derivada:
dpsidx = raiz2 k pi cos(k pi x)
Segunda derivada:
d^2 psidx^2 = -raiz2 (k pi)^2 sin(k pi x) = - (k pi)^2 psi(x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão do Hamiltoniano:
H psi = -hbar^22m ( - (k pi)^2 psi(x) ) = hbar^2 k^2 pi^22m psi(x)
Isso mostra que psi(x) é uma função própria do operador Hamiltoniano com autovalor E = hbar^2 k^2 pi^22m.

Resposta

A energia do elétron é E = dfrachbar^2 k^2 pi^22m.

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