Considere um elétron confinado em um sistema finito. O estado do elétron é descrito pela função de onda
, em que
é uma constante. Assuma que a energia potencial é zero, ou
. Qual é a energia do elétron?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso em um sistema finito, e a função de onda que descreve o estado desse elétron é
. Além disso, a energia potencial
é zero. Nosso objetivo é encontrar a energia desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica quântica, mais especificamente, a relação entre a função de onda e a energia através do operador Hamiltoniano.
Passo 2
Na mecânica quântica, a energia total de um sistema é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano
. Quando a energia potencial
é zero, o Hamiltoniano representa apenas a energia cinética do sistema. A expressão do Hamiltoniano nesse caso é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a massa do elétron. Esse operador atua na função de onda para nos dar a energia do sistema.
Passo 3
Para encontrar a energia do elétron, vamos aplicar o operador Hamiltoniano na função de onda
:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas da função de onda:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na expressão do Hamiltoniano:
Isso mostra que
é uma função própria do operador Hamiltoniano com autovalor
.
Resposta
A energia do elétron é
.
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b) NaCl
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Qual é o valor da observável do momento, se a função de onda
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até
é
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos?
a
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