Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de
até
é
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos?
a
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma partícula cuja função de onda é dada por
definida no intervalo de
até
. O objetivo é descobrir a probabilidade de que essa partícula esteja no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de localização da partícula, especificamente integrando o quadrado da função de onda neste intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo. Matemáticamente, isso é representado por:
onde
é a probabilidade, e
é o intervalo de interesse.
Passo 3
Vamos calcular o quadrado da função de onda
:
Esse é o que chamamos de densidade de probabilidade.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão da probabilidade e definimos os limites da integral de
a
:
Passo 5
Para facilitar a integração, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na função de onda:
Passo 6
Substituímos essa identidade na expressão da probabilidade:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração de cosseno:
onde
.
Passo 8
Aplicando essa fórmula, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
Resposta
A probabilidade de que a partícula exista no intervalo de
a
é
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, em que
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