Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de até é
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos? a

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma partícula cuja função de onda é dada por
definida no intervalo de até . O objetivo é descobrir a probabilidade de que essa partícula esteja no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de localização da partícula, especificamente integrando o quadrado da função de onda neste intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo. Matemáticamente, isso é representado por:
onde é a probabilidade, e é o intervalo de interesse.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado da função de onda :
Esse é o que chamamos de densidade de probabilidade.

Passo 4

Agora, substituímos na expressão da probabilidade e definimos os limites da integral de a :

Passo 5

Para facilitar a integração, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na função de onda:

Passo 6

Substituímos essa identidade na expressão da probabilidade:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração de cosseno:
onde .

Passo 8

Aplicando essa fórmula, temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:

Resposta

A probabilidade de que a partícula exista no intervalo de a é

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