Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de x=0 até a é
psi(x)=raiz2a sen n pi xa
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos? x=0,49 a a 0,51 a

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma partícula cuja função de onda é dada por
psi(x) = raiz2a sin(n pi xa)
definida no intervalo de até . O objetivo é descobrir a probabilidade de que essa partícula esteja no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de localização da partícula, especificamente integrando o quadrado da função de onda neste intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo. Matemáticamente, isso é representado por:
P = integralx1^x2 |psi(x)|^2 , dx
onde é a probabilidade, e é o intervalo de interesse.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado da função de onda |psi(x)|^2 = (raiz2a sin(n pi xa))^2 = 2a sin^2(n pi xa) :
Esse é o que chamamos de densidade de probabilidade.

Passo 4

Agora, substituímos P = integral0,49a^0,51a 2a sin^2(n pi xa) , dx na expressão da probabilidade e definimos os limites da integral de a :

Passo 5

Para facilitar a integração, podemos usar a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na função de onda:
sin^2(n pi xa) = 1 - cos(2n pi xa)2

Passo 6

Substituímos essa identidade na expressão da probabilidade:
P = integral0,49a^0,51a 2a cdot 1 - cos(2n pi xa)2 , dx = 1a integral0,49a^0,51a (1 - cos(2n pi xa)) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
P = 1a [ integral0,49a^0,51a 1 , dx - integral0,49a^0,51a cos(2n pi xa) , dx ]
A primeira integral é simples:
integral0,49a^0,51a 1 , dx = 0,51a - 0,49a = 0,02a
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração de cosseno:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
onde .

Passo 8

Aplicando essa fórmula, temos:
integral0,49a^0,51a cos(2n pi xa) , dx = [ sin(2n pi xa)2n pia ]0,49a^0,51a = a2npi [ sin(2npi cdot 0,51) - sin(2npi cdot 0,49) ]

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P = 1a [ 0,02a - a2npi ( sin(1,02npi) - sin(0,98npi) ) ] = 0,02 - 12npi ( sin(1,02npi) - sin(0,98npi) )

Resposta

A probabilidade de que a partícula exista no intervalo de P = 0,02 - 12npi ( sin(1,02npi) - sin(0,98npi) ) a é

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