Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de até é
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos? a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de onda de uma partícula no intervalo de até :
Estamos no campo da Mecânica Quântica, especificamente lidando com probabilidades de encontrar uma partícula em um certo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de densidade de probabilidade, que é , e integrar essa função no intervalo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de probabilidade, que é o quadrado da função de onda:
Essa expressão nos dá a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula em um ponto .

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de até . Para isso, vamos integrar de 0 a :
Essa integral vai nos dar a probabilidade total nesse intervalo específico.

Passo 4

Para resolver a integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
A primeira integral é simples, e a segunda precisamos usar a integral de :

Passo 6

Calculando as integrais:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de a é:

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