Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de x=0 até a é
psi(x)=raiz2a sen n pi xa
Qual é a probabilidade de que essa partícula exista nos seguintes intervalos? x=0 a 0,002 a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de onda de uma partícula no intervalo de psi(x) = raiz2a sin(n pi xa) até :
Estamos no campo da Mecânica Quântica, especificamente lidando com probabilidades de encontrar uma partícula em um certo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de densidade de probabilidade, que é , e integrar essa função no intervalo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de probabilidade, que é o quadrado da função de onda:
|psi(x)|^2 = (raiz2a sin(n pi xa))^2 = 2a sin^2(n pi xa)
Essa expressão nos dá a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula em um ponto .

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de P = integral0^0,002a 2a sin^2(n pi xa) dx até . Para isso, vamos integrar de 0 a :
Essa integral vai nos dar a probabilidade total nesse intervalo específico.

Passo 4

Para resolver a integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa expressão:
P = integral0^0,002a 2a cdot 1 - cos(2n pi xa)2 dx = 1a integral0^0,002a (1 - cos(2n pi xa)) dx

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
P = 1a [ integral0^0,002a 1 , dx - integral0^0,002a cos(2n pi xa) dx ]
A primeira integral é simples, e a segunda precisamos usar a integral de integral cos(kx) dx = sin(kx)k :

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^0,002a 1 , dx = 0,002a
integral0^0,002a cos(2n pi xa) dx = a2n pi [ sin(2n pi xa) ]0^0,002a = a2n pi ( sin(0,004npi) - sin(0) ) = a2n pi sin(0,004npi)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para P = 1a ( 0,002a - a2n pi sin(0,004npi) ) = 0,002 - sin(0,004npi)2n pi :

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de P = 0,002 - sin(0,004npi)2n pi a é:

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