Considere a equação 4 cos (x)-e^x=0. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar uma raiz positiva com quatro casas decimais usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo um intervalo ao meio repetidamente até chegar perto do valor desejado. Vamos precisar saber onde a função muda de sinal para começar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver: . Para usar a bissecção, precisamos achar dois pontos, e , onde e têm sinais opostos, ou seja, . Isso nos garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escolher alguns valores para f(0) = 4 cos(0) - e^0 = 4 times 1 - 1 = 3 e calcular f(1) = 4 cos(1) - e^1 approx 4 times 0.5403 - 2.7183 approx 2.1612 - 2.7183 approx -0.5571 :
  • Para :
  • Para :
Como e , temos . Então, sabemos que existe uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e ver em qual delas a função muda de sinal.
  1. Primeira iteração:
    • f(0.5) = 4 cos(0.5) - e^0.5 approx 4 times 0.8776 - 1.6487 approx 3.5104 - 1.6487 approx 1.8617 , f(0.75) = 4 cos(0.75) - e^0.75 approx 4 times 0.7317 - 2.1170 approx 2.9268 - 2.1170 approx 0.8098
    • f(0.875) = 4 cos(0.875) - e^0.875 approx 4 times 0.6405 - 2.3989 approx 2.5620 - 2.3989 approx 0.1631
    • Calculamos f(0.9375) = 4 cos(0.9375) - e^0.9375 approx 4 times 0.5915 - 2.5550 approx 2.3660 - 2.5550 approx -0.1890 :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  2. Segunda iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  3. Terceira iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  4. Quarta iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos o processo até a diferença entre f(0.90625) approx 4 cos(0.90625) - e^0.90625 approx 4 times 0.6160 - 2.4782 approx 2.4640 - 2.4782 approx -0.0142 e f(0.890625) approx 4 cos(0.890625) - e^0.890625 approx 4 times 0.6305 - 2.4385 approx 2.5220 - 2.4385 approx 0.0835 ser menor que f(0.8984375) approx 4 cos(0.8984375) - e^0.8984375 approx 4 times 0.6223 - 2.4385 approx 2.4892 - 2.4385 approx 0.0507 . Vamos fazer mais algumas iterações:
  1. Quinta iteração:
    • f(0.90234375) approx 4 cos(0.90234375) - e^0.90234375 approx 4 times 0.6204 - 2.4782 approx 2.4816 - 2.4782 approx 0.0034 , f(0.904296875) approx 4 cos(0.904296875) - e^0.904296875 approx 4 times 0.6193 - 2.4782 approx 2.4772 - 2.4782 approx -0.0010
    • f(0.9033203125) approx 4 cos(0.9033203125) - e^0.9033203125 approx 4 times 0.6198 - 2.4782 approx 2.4792 - 2.4782 approx 0.0010
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  2. Sexta iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  3. Sétima iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  4. Oitava iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  5. Nona iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Agora, e , então a raiz está no intervalo .
  6. Décima iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .

Resposta

Após essas iterações, a raiz positiva da equação é aproximadamente .

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