Considere a equação . Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar uma raiz positiva com quatro casas decimais usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo um intervalo ao meio repetidamente até chegar perto do valor desejado. Vamos precisar saber onde a função muda de sinal para começar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver: . Para usar a bissecção, precisamos achar dois pontos, e , onde e têm sinais opostos, ou seja, . Isso nos garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escolher alguns valores para e calcular :
  • Para :
  • Para :
Como e , temos . Então, sabemos que existe uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e ver em qual delas a função muda de sinal.
  1. Primeira iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  2. Segunda iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  3. Terceira iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  4. Quarta iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos o processo até a diferença entre e ser menor que . Vamos fazer mais algumas iterações:
  1. Quinta iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  2. Sexta iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  3. Sétima iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  4. Oitava iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  5. Nona iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Agora, e , então a raiz está no intervalo .
  6. Décima iteração:
    • ,
    • Calculamos :
    • Como e , a raiz está no intervalo .

Resposta

Após essas iterações, a raiz positiva da equação é aproximadamente .

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