Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
(a) bissecção;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar uma raiz positiva com quatro casas decimais usando o método da bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo um intervalo ao meio repetidamente até chegar perto do valor desejado. Vamos precisar saber onde a função muda de sinal para começar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
. Para usar a bissecção, precisamos achar dois pontos,
e
, onde
e
têm sinais opostos, ou seja,
. Isso nos garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores para
e calcular
:
- Para
: - Para
:
Como
e
, temos
. Então, sabemos que existe uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e ver em qual delas a função muda de sinal.
-
Primeira iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Segunda iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Terceira iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Quarta iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Agora,
e , então a raiz está no intervalo .
-
Passo 5
Continuamos o processo até a diferença entre
e
ser menor que
. Vamos fazer mais algumas iterações:
-
Quinta iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Sexta iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Sétima iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Oitava iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
-
Nona iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Agora,
e , então a raiz está no intervalo .
-
-
Décima iteração:
-
, -
- Calculamos
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
-
Resposta
Após essas iterações, a raiz positiva da equação
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere uma função dada pela expressão
© Para
, quantas iterações seriam necessárias para que
? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de
?
Ehnte com precisão de três casas decimais a raiz da equação
pelo método da falsa posição com
e
.
A equação
tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(a) Verifique que começando com
haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de for utilizada.
ii. para a raiz próxima de
Considere uma função dada pela expressão
(a) Calcule, utilizando o método da falsa posição, que o primeiro termo da sequência, com
e
, é dado por