Considere uma função dada pela expressão
f(x)=c de
© Para de, quantas iterações seriam necessárias para que zn >= 12 ? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de 2^-48 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função definida por partes:
f(x)=c de
O conteúdo relacionado aqui envolve métodos de iteração, especificamente iteração de ponto fixo e o método de bissecção. Precisaremos entender como essas técnicas funcionam e aplicar fórmulas matemáticas para determinar o número de iterações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a iteração de ponto fixo. Nesse método, começamos com um chute inicial z1 = f(z0) = f(0) = de e aplicamos a função repetidamente para obter . Queremos saber quantas iterações são necessárias para que quando .
Vamos começar escolhendo um valor inicial. Suponhamos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a próxima iteração:
z2 = f(z1) = f(10^-6) = de
Percebemos que até agora, permanece igual a . Isso ocorre porque para , , o que significa que a função retorna sempre nessa faixa.

Passo 4

Para que , precisamos que seja grande o suficiente para que ultrapasse esse valor. No entanto, como vimos, enquanto , a função retorna sempre , fazendo com que nunca ultrapasse .
Isso significa que, com , não há um número finito de iterações que faça . A sequência fica presa em .

Passo 5

Agora, vamos para o método da bissecção. Nesse método, dividimos o intervalo continuamente pela metade para encontrar uma raiz com uma precisão específica. Queremos saber quantas iterações são necessárias para atingir um erro absoluto de k >= log2(b - aerro) .
A fórmula para o número de iterações k >= log2(1 - 02^-48) = log2(2^48) = 48 necessárias é:
Onde é o intervalo inicial. Supondo que o intervalo inicial seja , temos:

Resposta

Para , a iteração de ponto fixo nunca alcança . No método da bissecção, são necessárias pelo menos 48 iterações para atingir um erro absoluto de .

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