Considere uma função dada pela expressão
© Para
, quantas iterações seriam necessárias para que
? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função definida por partes:
O conteúdo relacionado aqui envolve métodos de iteração, especificamente iteração de ponto fixo e o método de bissecção. Precisaremos entender como essas técnicas funcionam e aplicar fórmulas matemáticas para determinar o número de iterações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a iteração de ponto fixo. Nesse método, começamos com um chute inicial
e aplicamos a função
repetidamente para obter
. Queremos saber quantas iterações são necessárias para que
quando
.
Vamos começar escolhendo um valor inicial. Suponhamos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a próxima iteração:
Percebemos que até agora,
permanece igual a
. Isso ocorre porque para
,
, o que significa que a função retorna sempre
nessa faixa.
Passo 4
Para que
, precisamos que
seja grande o suficiente para que
ultrapasse esse valor. No entanto, como vimos, enquanto
, a função retorna sempre
, fazendo com que
nunca ultrapasse
.
Isso significa que, com
, não há um número finito de iterações que faça
. A sequência fica presa em
.
Passo 5
Agora, vamos para o método da bissecção. Nesse método, dividimos o intervalo continuamente pela metade para encontrar uma raiz com uma precisão específica. Queremos saber quantas iterações são necessárias para atingir um erro absoluto de
.
A fórmula para o número de iterações
necessárias é:
Onde
é o intervalo inicial. Supondo que o intervalo inicial seja
, temos:
Resposta
Para
, a iteração de ponto fixo nunca alcança
. No método da bissecção, são necessárias pelo menos 48 iterações para atingir um erro absoluto de
.
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e
.
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. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
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(a) bissecção;
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ii. para a raiz próxima de for utilizada.
ii. para a raiz próxima de