Considere uma função dada pela expressão
© Para , quantas iterações seriam necessárias para que ? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função definida por partes:
O conteúdo relacionado aqui envolve métodos de iteração, especificamente iteração de ponto fixo e o método de bissecção. Precisaremos entender como essas técnicas funcionam e aplicar fórmulas matemáticas para determinar o número de iterações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a iteração de ponto fixo. Nesse método, começamos com um chute inicial e aplicamos a função repetidamente para obter . Queremos saber quantas iterações são necessárias para que quando .
Vamos começar escolhendo um valor inicial. Suponhamos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a próxima iteração:
Percebemos que até agora, permanece igual a . Isso ocorre porque para , , o que significa que a função retorna sempre nessa faixa.

Passo 4

Para que , precisamos que seja grande o suficiente para que ultrapasse esse valor. No entanto, como vimos, enquanto , a função retorna sempre , fazendo com que nunca ultrapasse .
Isso significa que, com , não há um número finito de iterações que faça . A sequência fica presa em .

Passo 5

Agora, vamos para o método da bissecção. Nesse método, dividimos o intervalo continuamente pela metade para encontrar uma raiz com uma precisão específica. Queremos saber quantas iterações são necessárias para atingir um erro absoluto de .
A fórmula para o número de iterações necessárias é:
Onde é o intervalo inicial. Supondo que o intervalo inicial seja , temos:

Resposta

Para , a iteração de ponto fixo nunca alcança . No método da bissecção, são necessárias pelo menos 48 iterações para atingir um erro absoluto de .

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Ehnte com precisão de três casas decimais a raiz da equação pelo método da falsa posição com e .
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(d) Interprete seus resultados.
Considere a equação . Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
A equação tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(a) Verifique que começando com haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de for utilizada.