Considere uma função dada pela expressão
(a) Calcule, utilizando o método da falsa posição, que o primeiro termo da sequência, com e , é dado por

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E o que queremos aqui é usar o método da falsa posição para encontrar o primeiro termo da sequência, denotado por , começando com e . O método da falsa posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método da falsa posição. Esse método é parecido com o método da bissecção, onde a gente começa com dois pontos, e , que cercam a raiz (ou seja, e têm sinais opostos). A ideia é traçar uma linha reta entre e e encontrar onde essa linha cruza o eixo . Esse ponto de cruzamento é o nosso novo palpite para a raiz, chamado de .

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função. Temos:
Primeiro, calculamos e :
  • Para :
  • Para :
Note que e . Para que o método funcione, precisamos que e tenham sinais opostos, o que acontece se .

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do método da falsa posição para encontrar :
Substituindo os valores que já temos:
Então,

Passo 5

Simplificando a expressão matemática:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Agora, o denominador:
Substituindo de volta na fórmula:

Resposta

Portanto, o primeiro termo da sequência pelo método da falsa posição é:

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ii. para a raiz próxima de for utilizada.
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(a) bissecção;
Considere a equação . Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
© Utilizando a expressão
obtenha o valor de para a última iteração calculada nos itens ) e ), em que é o erro absoluto entre a aproximação e a raiz exata . Considere que a solução exata é .
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(a) Mostre que o método iterativo definido por
converge para se .