Considere uma função dada pela expressão
(a) Calcule, utilizando o método da falsa posição, que o primeiro termo da sequência, com
e
, é dado por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E o que queremos aqui é usar o método da falsa posição para encontrar o primeiro termo da sequência, denotado por
, começando com
e
. O método da falsa posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de
que fazem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método da falsa posição. Esse método é parecido com o método da bissecção, onde a gente começa com dois pontos,
e
, que cercam a raiz (ou seja,
e
têm sinais opostos). A ideia é traçar uma linha reta entre
e
e encontrar onde essa linha cruza o eixo
. Esse ponto de cruzamento é o nosso novo palpite para a raiz, chamado de
.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função. Temos:
Primeiro, calculamos
e
:
- Para
: - Para
:
Note que
e
. Para que o método funcione, precisamos que
e
tenham sinais opostos, o que acontece se
.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do método da falsa posição para encontrar
:
Substituindo os valores que já temos:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão matemática:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Agora, o denominador:
Substituindo de volta na fórmula:
Resposta
Portanto, o primeiro termo da sequência pelo método da falsa posição é:
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A equação
tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(a) Verifique que começando com
haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de for utilizada.
ii. para a raiz próxima de
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
(a) bissecção;
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
© Utilizando a expressão
© Utilizando a expressão
obtenha o valor de
para
a última iteração calculada nos itens
) e
), em que
é o erro absoluto entre a aproximação
e a raiz exata
. Considere que a solução exata é
.
Seja
uma raiz da equação
. Supomos que
e
sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado
contendo
e que
e
.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
(a) Mostre que o método iterativo definido por
converge para
se
.