A equação
tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(a) Verifique que começando com
haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de
for utilizada.
ii. para a raiz próxima de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação
que tem três raízes. A gente vai usar funções de iteração para encontrar uma dessas raízes, especificamente a que está perto de 1.0. As funções de iteração que vamos usar são:
Vamos focar na função
e começar com
para ver se a gente chega perto da raiz desejada. Para isso, vamos usar o método de iteração fixa, que é uma técnica para encontrar soluções de equações de forma repetitiva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona o método de iteração fixa. A ideia é começar com um chute inicial (neste caso,
) e aplicar a função de iteração para encontrar o próximo valor:
Agora, usamos
para encontrar
:
Passo 3
Vamos continuar o processo para ver se os valores estão se aproximando de um limite:
Passo 4
Continuando as iterações:
Passo 5
Vamos fazer mais algumas iterações para ver a tendência:
Passo 6
Observando os valores de
, percebemos que eles estão se aproximando cada vez mais de 1.0. Vamos fazer mais uma iteração para confirmar:
Resposta
Sim, ao começar com
e usar a função de iteração
, o processo de iteração converge para a raiz próxima de 1.0.
Exercícios relacionados
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
(a) bissecção;
Considere uma função dada pela expressão
© Para
, quantas iterações seriam necessárias para que
? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de
?
Considere uma função dada pela expressão
(a) Calcule, utilizando o método da falsa posição, que o primeiro termo da sequência, com
e
, é dado por
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
© Utilizando a expressão
© Utilizando a expressão
obtenha o valor de
para
a última iteração calculada nos itens
) e
), em que
é o erro absoluto entre a aproximação
e a raiz exata
. Considere que a solução exata é
.