A equação e^x-3 x^2=0 tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
varphi pm(x)= pm raize^x3
(a) Verifique que começando com x0=0 haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de 1.0 se varphi+for utilizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação varphi pm(x)= pm raize^x3 que tem três raízes. A gente vai usar funções de iteração para encontrar uma dessas raízes, especificamente a que está perto de 1.0. As funções de iteração que vamos usar são:
Vamos focar na função e começar com para ver se a gente chega perto da raiz desejada. Para isso, vamos usar o método de iteração fixa, que é uma técnica para encontrar soluções de equações de forma repetitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona o método de iteração fixa. A ideia é começar com um chute inicial (neste caso, x1 = varphi+(x0) = raize^03 = raiz13 approx 0.577 ) e aplicar a função de iteração para encontrar o próximo valor:
x2 = varphi+(x1) = raize^0.5773 approx raiz1.7813 approx 0.771
Agora, usamos para encontrar :

Passo 3

Vamos continuar o processo para ver se os valores estão se aproximando de um limite:
x3 = varphi+(x2) = raize^0.7713 approx raiz2.1643 approx 0.849
x4 = varphi+(x3) = raize^0.8493 approx raiz2.3403 approx 0.886

Passo 4

Continuando as iterações:
x5 = varphi+(x4) = raize^0.8863 approx raiz2.4243 approx 0.900
x6 = varphi+(x5) = raize^0.9003 approx raiz2.4603 approx 0.908

Passo 5

Vamos fazer mais algumas iterações para ver a tendência:
x7 = varphi+(x6) = raize^0.9083 approx raiz2.4823 approx 0.913
x8 = varphi+(x7) = raize^0.9133 approx raiz2.4893 approx 0.916

Passo 6

Observando os valores de x9 = varphi+(x8) = raize^0.9163 approx raiz2.4993 approx 0.916 , percebemos que eles estão se aproximando cada vez mais de 1.0. Vamos fazer mais uma iteração para confirmar:

Resposta

Sim, ao começar com e usar a função de iteração , o processo de iteração converge para a raiz próxima de 1.0.

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