A equação tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(a) Verifique que começando com haverá convergência:
ii. para a raiz próxima de for utilizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação que tem três raízes. A gente vai usar funções de iteração para encontrar uma dessas raízes, especificamente a que está perto de 1.0. As funções de iteração que vamos usar são:
Vamos focar na função e começar com para ver se a gente chega perto da raiz desejada. Para isso, vamos usar o método de iteração fixa, que é uma técnica para encontrar soluções de equações de forma repetitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona o método de iteração fixa. A ideia é começar com um chute inicial (neste caso, ) e aplicar a função de iteração para encontrar o próximo valor:
Agora, usamos para encontrar :

Passo 3

Vamos continuar o processo para ver se os valores estão se aproximando de um limite:

Passo 4

Continuando as iterações:

Passo 5

Vamos fazer mais algumas iterações para ver a tendência:

Passo 6

Observando os valores de , percebemos que eles estão se aproximando cada vez mais de 1.0. Vamos fazer mais uma iteração para confirmar:

Resposta

Sim, ao começar com e usar a função de iteração , o processo de iteração converge para a raiz próxima de 1.0.

Exercícios relacionados

Considere a equação . Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
Considere uma função dada pela expressão
© Para , quantas iterações seriam necessárias para que ? No caso de bissecção, quantas iterações seriam necessárias para atingir um erro absoluto de ?
Considere uma função dada pela expressão
(a) Calcule, utilizando o método da falsa posição, que o primeiro termo da sequência, com e , é dado por
Considere a equação . Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
© Utilizando a expressão
obtenha o valor de para a última iteração calculada nos itens ) e ), em que é o erro absoluto entre a aproximação e a raiz exata . Considere que a solução exata é .