Seja
uma raiz da equação
. Supomos que
e
sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado
contendo
e que
e
.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
converge para
se
.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que um método iterativo específico vai nos aproximar da raiz
da função
. O método que vamos usar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo, como derivadas e métodos de aproximação de raízes. Vamos passo a passo descobrir como esse método funciona e por que ele converge para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma raiz de
, ou seja,
. Além disso, sabemos que:
- A primeira derivada em
, , é zero. - A segunda derivada em
, , não é zero.
Isso nos indica que, perto de
, a função
tem um comportamento especial, algo parecido com uma parábola.
Passo 3
Vamos considerar uma aproximação de
perto de
usando a expansão de Taylor. Como
, a expansão fica assim:
Como
e
, simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos analisar a derivada
usando a mesma abordagem:
Como
, temos:
Passo 5
Vamos substituir essas aproximações na fórmula do método iterativo:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
O que isso mostra é que, ao aplicar o método iterativo uma vez, conseguimos chegar diretamente em
a partir de uma aproximação próxima. Isso significa que o método converge para
de forma muito eficiente, desde que comecemos com uma estimativa inicial próxima o suficiente da raiz.
Resposta
Portanto, o método iterativo definido por
converge para a raiz
quando
está no intervalo
que contém
.