Seja xi uma raiz da equação f(x)=0. Supomos que f(x), f^prime(x) e f^prime prime(x) sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado I contendo xi e que f^prime(xi)=0 e f^prime prime(xi) neq 0.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
xk+1=xk-2 f(xk)f^prime(xk)
converge para xi se x in I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que um método iterativo específico vai nos aproximar da raiz xi da função f(x)=0. O método que vamos usar é:
xk+1 = xk - 2 f(xk)f'(xk)
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo, como derivadas e métodos de aproximação de raízes. Vamos passo a passo descobrir como esse método funciona e por que ele converge para xi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que xi é uma raiz de f(x), ou seja, f(xi) = 0. Além disso, sabemos que:
  • A primeira derivada em xi, f'(xi), é zero.
  • A segunda derivada em xi, f''(xi), não é zero.
Isso nos indica que, perto de xi, a função f(x) tem um comportamento especial, algo parecido com uma parábola.

Passo 3

Vamos considerar uma aproximação de f(x) perto de xi usando a expansão de Taylor. Como f'(xi) = 0, a expansão fica assim:
f(x) approx f(xi) + f'(xi)(x - xi) + f''(xi)2(x - xi)^2
Como f(xi) = 0 e f'(xi) = 0, simplifica para:
f(x) approx f''(xi)2(x - xi)^2

Passo 4

Agora, vamos analisar a derivada f'(x) usando a mesma abordagem:
f'(x) approx f'(xi) + f''(xi)(x - xi)
Como f'(xi) = 0, temos:
f'(x) approx f''(xi)(x - xi)

Passo 5

Vamos substituir essas aproximações na fórmula do método iterativo:
xk+1 = xk - 2 f(xk)f'(xk) approx xk - 2 f''(xi)2(xk - xi)^2f''(xi)(xk - xi)

Passo 6

Simplificando a expressão:
xk+1 approx xk - 2 f''(xi)2(xk - xi)^2f''(xi)(xk - xi) = xk - 2 (xk - xi)2 = xk - (xk - xi) = xi

Passo 7

O que isso mostra é que, ao aplicar o método iterativo uma vez, conseguimos chegar diretamente em xi a partir de uma aproximação próxima. Isso significa que o método converge para xi de forma muito eficiente, desde que comecemos com uma estimativa inicial próxima o suficiente da raiz.

Resposta

Portanto, o método iterativo definido por
xk+1 = xk - 2 f(xk)f'(xk)
converge para a raiz xi quando xk está no intervalo I que contém xi.

Exercícios relacionados