Considere a equação G=U+p V-T S e mostre como a energia interna varia com a composição de uma mistura.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação G = U + p V - T S, que relaciona a energia livre de Gibbs ( G) com a energia interna ( U), pressão ( p), volume ( V), temperatura ( T) e entropia ( S). O objetivo é mostrar como a energia interna ( U) varia com a composição de uma mistura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente relacionados a sistemas de mistura e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a energia interna ( U):
U = G - p V + T S
Isso nos mostra que a energia interna depende da energia livre de Gibbs, do termo pressão-volume e do termo temperatura-entropia.

Passo 3

Para entender como U varia com a composição da mistura, precisamos considerar que em uma mistura, a energia livre de Gibbs ( G) é uma função das quantidades dos componentes da mistura. Então, podemos expressar G como G(n1, n2, ldots, nk), onde ni é a quantidade do componente i.

Passo 4

Tomando a derivada parcial de U em relação à composição, por exemplo, em relação a ni, temos:
Isso nos mostra como a energia interna muda com a quantidade de cada componente na mistura.

Passo 5

Para simplificar, podemos utilizar relações termodinâmicas conhecidas, como:
onde ( partial Gpartial ni )T,p,nj neq i = mui é o potencial químico do componente mui.

Passo 6

Substituindo na expressão anterior:
( partial Upartial ni ) = mui - p ( partial Vpartial ni ) + T ( partial Spartial ni )
Isso relaciona a variação da energia interna com a composição através dos potenciais químicos, volume e entropia da mistura.

Resposta

A variação da energia interna ( U) com a composição de uma mistura é dada por:
( partial Upartial ni ) = mui - p ( partial Vpartial ni ) + T ( partial Spartial ni )
onde mui é o potencial químico, p a pressão, V o volume e S a entropia da mistura.

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