Considere a equação
e mostre como a energia interna varia com a composição de uma mistura.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
, que relaciona a energia livre de Gibbs (
) com a energia interna (
), pressão (
), volume (
), temperatura (
) e entropia (
). O objetivo é mostrar como a energia interna (
) varia com a composição de uma mistura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente relacionados a sistemas de mistura e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a energia interna (
):
Isso nos mostra que a energia interna depende da energia livre de Gibbs, do termo pressão-volume e do termo temperatura-entropia.
Passo 3
Para entender como
varia com a composição da mistura, precisamos considerar que em uma mistura, a energia livre de Gibbs (
) é uma função das quantidades dos componentes da mistura. Então, podemos expressar
como
, onde
é a quantidade do componente
.
Passo 4
Tomando a derivada parcial de
em relação à composição, por exemplo, em relação a
, temos:
Isso nos mostra como a energia interna muda com a quantidade de cada componente na mistura.
Passo 5
Para simplificar, podemos utilizar relações termodinâmicas conhecidas, como:
onde
é o potencial químico do componente
.
Passo 6
Substituindo na expressão anterior:
Isso relaciona a variação da energia interna com a composição através dos potenciais químicos, volume e entropia da mistura.
Resposta
A variação da energia interna (
) com a composição de uma mistura é dada por:
onde
é o potencial químico,
a pressão,
o volume e
a entropia da mistura.