Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva com erro menor que ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação não linear e precisamos encontrar a menor raiz positiva dessa equação usando o método de Newton, com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações de raízes de funções.

Passo 2

Vamos definir a função que queremos igualar a zero. Seja:
E sua derivada necessária para o método de Newton:
O método de Newton utiliza a fórmula:
Isso nos permitirá iterar para encontrar uma aproximação cada vez melhor da raiz.

Passo 3

Escolhemos um valor inicial . Observando a função, sabemos que para :
E para :
Como é positivo e é negativo, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton:
Calculando:
Então:
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 5

Continuando as iterações:
(Repetimos até que )
Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação bastante precisa da raiz.

Resposta

A menor raiz positiva da equação é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Localize as raízes das equações a seguir:
(a)
Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
© .
O problema pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar a convergência quando:
(a) ;