Considere a equação não linear:
4 cos x-e^x=0
(a) Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva com erro menor que varepsilon=10^-4;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação não linear e precisamos encontrar a menor raiz positiva dessa equação usando o método de Newton, com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações de raízes de funções.

Passo 2

Vamos definir a função que queremos igualar a zero. Seja:
f(x) = 4 cos x - e^x
E sua derivada necessária para o método de Newton:
f'(x) = -4 sin x - e^x
O método de Newton utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Isso nos permitirá iterar para encontrar uma aproximação cada vez melhor da raiz.

Passo 3

Escolhemos um valor inicial f(0) = 4 cos(0) - e^0 = 4(1) - 1 = 3 . Observando a função, sabemos que para f(1) = 4 cos(1) - e^1 approx 4(0.5403) - 2.7183 approx 2.1612 - 2.7183 = -0.5571 :
E para :
Como é positivo e é negativo, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Calculando:
f(0.5) = 4 cos(0.5) - e^0.5 approx 4(0.8776) - 1.6487 approx 3.5104 - 1.6487 = 1.8617
f'(0.5) = -4 sin(0.5) - e^0.5 approx -4(0.4794) - 1.6487 approx -1.9176 - 1.6487 = -3.5663
Então:
x1 = 0.5 - 1.8617-3.5663 approx 0.5 + 0.5225 = 1.0225
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 5

Continuando as iterações:
x2 = 1.0225 - f(1.0225)f'(1.0225) approx
(Repetimos até que )
Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação bastante precisa da raiz.

Resposta

A menor raiz positiva da equação é aproximadamente .

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