Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva com erro menor que
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação não linear
e precisamos encontrar a menor raiz positiva dessa equação usando o método de Newton, com um erro menor que
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações de raízes de funções.
Passo 2
Vamos definir a função que queremos igualar a zero. Seja:
E sua derivada necessária para o método de Newton:
O método de Newton utiliza a fórmula:
Isso nos permitirá iterar para encontrar uma aproximação cada vez melhor da raiz.
Passo 3
Escolhemos um valor inicial
. Observando a função, sabemos que para
:
E para
:
Como
é positivo e
é negativo, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Vamos escolher
como nosso ponto de partida.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do método de Newton:
Calculando:
Então:
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
.
Passo 5
Continuando as iterações:
(Repetimos até que
)
Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação bastante precisa da raiz.
Resposta
A menor raiz positiva da equação
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Localize as raízes das equações a seguir:
(a)
(a)
Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
© .
©
O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(a) ;
(a)