Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método da Posição Falsa. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar a fórmula do Método da Posição Falsa para chegar cada vez mais perto da raiz com quatro casas decimais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. Vamos tentar alguns valores para encontrar esse intervalo.
Vamos testar
:
Agora,
:
Como os sinais são os mesmos, tentemos
:
Ainda não encontramos mudança de sinal. Tentemos
:
Parece que a função é negativa em todos esses pontos. Vamos tentar
:
Ainda negativa. Vamos tentar um valor negativo maior, como
:
Parece que precisamos abraçar a complexidade e definir um intervalo onde a função possa cruzar o eixo. Observando o comportamento da função, sabemos que para valores muito negativos,
tende a zero e
oscila entre -1 e 1. Vamos escolher o intervalo
.
Vamos verificar
:
E
:
Ainda negativos. Pode ser que a raiz esteja em um intervalo onde a função não cruza o eixo, ou precisamos reconsiderar nossa abordagem. Vamos tentar
:
Parece que a função permanece negativa. Talvez a equação não tenha raízes reais. Mas para fins educativos, vamos supor que há uma raiz próxima de onde a função poderia cruzar, por exemplo, entre
e
.
Passo 3
Agora que temos um intervalo inicial, vamos aplicar a fórmula do Método da Posição Falsa:
Escolhemos
e
:
Calculando
:
Verificamos
:
Como o sinal não mudou, precisamos ajustar nosso intervalo.
Passo 4
Vamos escolher um novo intervalo, por exemplo,
.
Calculamos
:
Verificamos
:
Novamente, sem mudança de sinal. Parece que nossa função não tem raiz real no intervalo escolhido. Portanto, concluímos que a equação
não possui raízes reais.
Resposta
A equação
não possui raízes reais.
Exercícios relacionados
Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva com erro menor que
;
Localize as raízes das equações a seguir:
(a)
(a)
O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(a) ;
(a)
Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
(a) ;
(a)