Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
© sen x-e^x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação sin x - e^x = 0 usando o Método da Posição Falsa. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar a fórmula do Método da Posição Falsa para chegar cada vez mais perto da raiz com quatro casas decimais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um intervalo f(0) = sin(0) - e^0 = 0 - 1 = -1 onde a função muda de sinal, ou seja, f(1) = sin(1) - e^1 approx 0,8415 - 2,7183 approx -1,8768 . Vamos tentar alguns valores para encontrar esse intervalo.
Vamos testar f(-1) = sin(-1) - e^-1 approx -0,8415 - 0,3679 approx -1,2094 :
f(2) = sin(2) - e^2 approx 0,9093 - 7,3891 approx -6,4798
Agora, f(pi2) = sin(pi2) - e^pi2 = 1 - e^1,5708 approx 1 - 4,8105 approx -3,8105 :
f(-2) = sin(-2) - e^-2 approx -0,9093 - 0,1353 approx -1,0446
Como os sinais são os mesmos, tentemos f(-3) = sin(-3) - e^-3 approx -0,1411 - 0,0498 approx -0,1909 :
f(0) = -1
Ainda não encontramos mudança de sinal. Tentemos f(3) = sin(3) - e^3 approx 0,1411 - 20,0855 approx -19,9444 :
Parece que a função é negativa em todos esses pontos. Vamos tentar :
Ainda negativa. Vamos tentar um valor negativo maior, como :
Parece que precisamos abraçar a complexidade e definir um intervalo onde a função possa cruzar o eixo. Observando o comportamento da função, sabemos que para valores muito negativos, tende a zero e oscila entre -1 e 1. Vamos escolher o intervalo .
Vamos verificar :
E :
Ainda negativos. Pode ser que a raiz esteja em um intervalo onde a função não cruza o eixo, ou precisamos reconsiderar nossa abordagem. Vamos tentar :
Parece que a função permanece negativa. Talvez a equação não tenha raízes reais. Mas para fins educativos, vamos supor que há uma raiz próxima de onde a função poderia cruzar, por exemplo, entre e .

Passo 3

Agora que temos um intervalo inicial, vamos aplicar a fórmula do Método da Posição Falsa:
xr = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b)
Escolhemos f(-pi2) = sin(-pi2) - e^-pi2 approx -1 - 0,2079 approx -1,2079 e f(0) = -1 :
xr = 0 - (-1)(-3,1416/2 - 0)-1,2079 - (-1) = 0 - (-1)(-1,5708)-0,2079 approx 7,539
f(7,539) = sin(7,539) - e^7,539 approx 0,8255 - 1887,905 approx -1887,0795
Calculando :
Verificamos :
Como o sinal não mudou, precisamos ajustar nosso intervalo.

Passo 4

Vamos escolher um novo intervalo, por exemplo, f(-1) approx -1,2094 .
Calculamos f(0) = -1 :
xr = 0 - (-1)(-1 - 0)-1,2094 - (-1) = 0 - (-1)(-1)-0,2094 approx 4,776
f(4,776) = sin(4,776) - e^4,776 approx -0,9962 - 119,963 approx -120,9592
sin x - e^x = 0
Verificamos :
Novamente, sem mudança de sinal. Parece que nossa função não tem raiz real no intervalo escolhido. Portanto, concluímos que a equação não possui raízes reais.

Resposta

A equação sin x - e^x = 0 não possui raízes reais.

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