Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que definir um intervalo onde esteja a maior raiz positiva de uma função qualquer e mostrar que essa raiz realmente existe e é única. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e propriedades das funções monótonas. Vamos precisar saber sobre o Teorema do Valor Intermediário e como verificar a unicidade de uma raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma função contínua
definida em algum intervalo. Queremos encontrar onde
tem uma solução positiva. Para isso, escolhemos dois pontos
e
tais que
e
tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 3
Vamos identificar um intervalo específico. Suponha que
seja negativo e que
seja positivo para algum
. Então, sabemos que existe uma raiz entre
e
. Vamos definir esse intervalo como
.
Passo 4
Agora, precisamos provar que essa raiz é única. Para isso, verificamos se a função
é estritamente crescente ou decrescente no intervalo
. Se for estritamente crescente, por exemplo, ela só pode cruzar o eixo
uma vez, garantindo que a raiz seja única.
Resposta
Portanto, o intervalo
contém a maior raiz positiva de
, e essa raiz existe e é única devido à mudança de sinal e à monotonicidade da função no intervalo.
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(a)
(a)
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;