Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que definir um intervalo onde esteja a maior raiz positiva de uma função qualquer e mostrar que essa raiz realmente existe e é única. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e propriedades das funções monótonas. Vamos precisar saber sobre o Teorema do Valor Intermediário e como verificar a unicidade de uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma função contínua definida em algum intervalo. Queremos encontrar onde tem uma solução positiva. Para isso, escolhemos dois pontos e tais que e tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos identificar um intervalo específico. Suponha que seja negativo e que seja positivo para algum . Então, sabemos que existe uma raiz entre e . Vamos definir esse intervalo como .

Passo 4

Agora, precisamos provar que essa raiz é única. Para isso, verificamos se a função é estritamente crescente ou decrescente no intervalo . Se for estritamente crescente, por exemplo, ela só pode cruzar o eixo uma vez, garantindo que a raiz seja única.

Resposta

Portanto, o intervalo contém a maior raiz positiva de , e essa raiz existe e é única devido à mudança de sinal e à monotonicidade da função no intervalo.

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