O problema pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar a convergência quando:
(a) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema que temos é resolver a equação . Isso envolve o conteúdo de métodos numéricos, especificamente iteração para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos transformar a equação numa forma e usar o processo iterativo . No caso (a), . Vamos analisar se essa iteração converge para uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar em . Isso é útil porque permite usar métodos iterativos para encontrar a solução. Aqui, , então nossa fórmula de iteração é .
Passo 3
Agora, para analisar a convergência desse processo iterativo, precisamos verificar algumas condições. Uma delas é que a derivada de em torno do ponto fixo (a solução procurada) tenha valor absoluto menor que 1. Isso garante que a iteração vai se aproximar da solução.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de :
Queremos que , então:
Isso significa que, para a iteração convergir, o valor inicial deve ser tal que .
Passo 5
Além disso, precisamos encontrar a solução exata da equação para saber em qual ponto a iteração deve convergir. Resolvendo , percebemos que a solução está entre e , porque é negativa nesse intervalo.
Passo 6
No entanto, nossa condição de convergência exige que , mas a solução está entre 0 e 1. Isso indica que, nesse caso específico, o processo iterativo definido por não vai convergir para a solução desejada, já que a região de convergência não inclui o ponto fixo.
Resposta
O processo iterativo não converge para a solução da equação , pois a condição necessária não é atendida pelo ponto fixo que está entre 0 e 1.