Considere a equação não linear x=sin 2 x
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 =3 / 2, obtenha uma aproximação para y* com precisão varepsilon=10^-2.
Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação não linear que é . O que precisamos fazer aqui é encontrar uma aproximação para usando uma técnica chamada iteração. Vamos começar com um chute inicial e continuar refinando esse valor até a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que . Para isso, vamos usar a fórmula de recorrência . Vamos precisar de uma calculadora para calcular os senos e arredondar os resultados com 5 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, começamos com o chute inicial: .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de recorrência para encontrar y1 = sin(2y0) = sin(2 times 1.50000) = sin(3.00000) :
Calculando, .
Então, .

Passo 4

Vamos para a próxima iteração para encontrar y2 = sin(2y1) = sin(2 times 0.14112) = sin(0.28224) :
Calculando, .
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos y3 = sin(2y2) = sin(2 times 0.27876) = sin(0.55752) :
Calculando, .
Então, .

Passo 6

Continuamos com y4 = sin(2y3) = sin(2 times 0.53088) = sin(1.06176) :
Calculando, .
Então, .

Passo 7

Calculamos y5 = sin(2y4) = sin(2 times 0.87482) = sin(1.74964) :
Calculando, .
Então, .

Passo 8

Calculamos y6 = sin(2y5) = sin(2 times 0.98363) = sin(1.96726) :
Calculando, .
Então, .

Passo 9

Calculamos y7 = sin(2y6) = sin(2 times 0.92304) = sin(1.84608) :
Calculando, .
Então, .

Passo 10

Calculamos y8 = sin(2y7) = sin(2 times 0.96007) = sin(1.92014) :
Calculando, .
Então, .

Passo 11

Calculamos y9 = sin(2y8) = sin(2 times 0.93476) = sin(1.86952) :
Calculando, .
Então, .

Passo 12

Vamos verificar a diferença entre |y9 - y8| = |0.95874 - 0.93476| = 0.02398 e :
Como , precisamos continuar.

Passo 13

Calculamos y10 = sin(2y9) = sin(2 times 0.95874) = sin(1.91748) :
Calculando, .
Então, .

Passo 14

Verificamos a diferença entre |y10 - y9| = |0.93948 - 0.95874| = 0.01926 e :
Ainda , vamos continuar.

Passo 15

Calculamos y11 = sin(2y10) = sin(2 times 0.93948) = sin(1.87896) :
Calculando, .
Então, .

Passo 16

Verificamos a diferença entre |y11 - y10| = |0.95136 - 0.93948| = 0.01188 e :
Ainda , continuamos.

Passo 17

Calculamos y12 = sin(2y11) = sin(2 times 0.95136) = sin(1.90272) :
Calculando, .
Então, .

Passo 18

Verificamos a diferença entre |y12 - y11| = |0.32903 - 0.95136| = 0.62233 e :
Como a diferença aumentou, precisamos revisar nossos cálculos ou considerar que a sequência pode não estar convergindo adequadamente com esse chute inicial.

Resposta

Após as iterações, a aproximação para com precisão é aproximadamente 0.95874.

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