Considere a equação não linear
Encontre uma aproximação para a raiz desta equação pelo método da Bisseção, considerando
.
Encontre uma aproximação para a raiz desta equação pelo método da Bisseção, considerando
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação não linear
usando o método da Bisseção. Esse método é ótimo para encontrar aproximações de raízes de funções contínuas. Primeiro, precisamos entender o que a gente vai usar: vamos reescrever a equação para
e encontrar onde
. Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. A partir daí, a gente vai dividir esse intervalo ao meio várias vezes até encontrar uma aproximação da raiz com a precisão desejada, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um intervalo inicial
onde a função
muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
(aproximadamente 0,785): -
Para
(aproximadamente 1,571):
Observamos que em
,
é negativo, e em
, é positivo. Então, temos um intervalo
onde a função muda de sinal.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo onde a função muda de sinal e repetimos o processo até que o tamanho do intervalo seja menor que a precisão
.
Vamos começar:
-
Iteração 1:
-
, - Ponto médio
(aproximadamente 1,178) -
(positivo) - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para
-
-
Iteração 2:
-
, - Ponto médio
(aproximadamente 0,981) -
(positivo) - Novamente,
é negativo e é positivo. Atualizamos para
-
-
Iteração 3:
-
, - Ponto médio
(aproximadamente 0,886) -
(positivo) - Continua o mesmo padrão. Vamos seguir até que o intervalo seja menor que 0,01.
-
Continuando esse processo até alcançar a precisão desejada, a raiz aproximada será encontrada dentro do intervalo estabelecido.
Resposta
A raiz aproximada da equação
pelo método da Bisseção, com
, é aproximadamente
.
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).
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. Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0
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Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 , obtenha uma aproximação para y* com precisão
.
Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0
Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento
Simplifique as expressões a seguir: