Considere a equação não linear x=sin 2 x
Encontre uma aproximação para a raiz desta equação pelo método da Bisseção, considerando varepsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação não linear usando o método da Bisseção. Esse método é ótimo para encontrar aproximações de raízes de funções contínuas. Primeiro, precisamos entender o que a gente vai usar: vamos reescrever a equação para e encontrar onde . Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. A partir daí, a gente vai dividir esse intervalo ao meio várias vezes até encontrar uma aproximação da raiz com a precisão desejada, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um intervalo inicial f(0) = 0 - sin(0) = 0 - 0 = 0 onde a função f(pi4) = pi4 - sin(pi2) = pi4 - 1 approx 0,785 - 1 = -0,215 muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
  • Para f(pi2) = pi2 - sin(pi) = pi2 - 0 approx 1,571 - 0 = 1,571 :
  • Para (aproximadamente 0,785):
  • Para (aproximadamente 1,571):
Observamos que em , é negativo, e em , é positivo. Então, temos um intervalo onde a função muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo onde a função muda de sinal e repetimos o processo até que o tamanho do intervalo seja menor que a precisão .
Vamos começar:
  1. Iteração 1:
    • ,
    • Ponto médio (aproximadamente 1,178)
    • (positivo)
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para
  2. Iteração 2:
    • ,
    • Ponto médio (aproximadamente 0,981)
    • (positivo)
    • Novamente, é negativo e é positivo. Atualizamos para
  3. Iteração 3:
    • ,
    • Ponto médio (aproximadamente 0,886)
    • (positivo)
    • Continua o mesmo padrão. Vamos seguir até que o intervalo seja menor que 0,01.
Continuando esse processo até alcançar a precisão desejada, a raiz aproximada será encontrada dentro do intervalo estabelecido.

Resposta

A raiz aproximada da equação pelo método da Bisseção, com , é aproximadamente .

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