Considere a equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por , no intervalo ( ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação não linear e queremos mostrar que existe uma solução real, que a gente vai chamar de , dentro do intervalo entre e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a gente a provar a existência de soluções em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Temos , que é uma função linear, e , que é uma função trigonométrica. Queremos encontrar onde essas duas funções se encontram, ou seja, onde .

Passo 3

Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas partes da equação: . Nosso objetivo é encontrar um valor de no intervalo (1/2, 1) onde .

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de nas extremidades do intervalo. Vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 5

Observamos que é positivo e é negativo. Como a função é contínua (pois é a diferença de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que deve existir pelo menos um valor de entre e onde .

Resposta

Existe uma solução real para a equação no intervalo .

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Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 , obtenha uma aproximação para y* com precisão de . Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.
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