Considere a equação não linear x=sin 2 x
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por x *, no intervalo ( 1 / 2,1 ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação não linear x = sin 2x e queremos mostrar que existe uma solução real, que a gente vai chamar de x^*, dentro do intervalo entre 1/2 e 1. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a gente a provar a existência de soluções em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Temos x, que é uma função linear, e sin 2x, que é uma função trigonométrica. Queremos encontrar onde essas duas funções se encontram, ou seja, onde x = sin 2x.

Passo 3

Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas partes da equação: f(x) = sin 2x - x. Nosso objetivo é encontrar um valor de x no intervalo (1/2, 1) onde f(x) = 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de f(x) nas extremidades do intervalo. Vamos calcular f(1/2) e f(1).
Para x = 1/2:
f(12) = sin(2 times 12) - 12 = sin(1) - 12 approx 0.8415 - 0.5 = 0.3415
Para x = 1:
f(1) = sin(2 times 1) - 1 = sin(2) - 1 approx 0.9093 - 1 = -0.0907

Passo 5

Observamos que f(1/2) approx 0.3415 é positivo e f(1) approx -0.0907 é negativo. Como a função f(x) é contínua (pois é a diferença de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que deve existir pelo menos um valor de x entre 1/2 e 1 onde f(x) = 0.

Resposta

Existe uma solução real x^* para a equação x = sin 2x no intervalo (1/2, 1).

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