Considere a equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por
, no intervalo (
).
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação não linear
e queremos mostrar que existe uma solução real, que a gente vai chamar de
, dentro do intervalo entre
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a gente a provar a existência de soluções em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Temos
, que é uma função linear, e
, que é uma função trigonométrica. Queremos encontrar onde essas duas funções se encontram, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas partes da equação:
. Nosso objetivo é encontrar um valor de
no intervalo (1/2, 1) onde
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os valores de
nas extremidades do intervalo. Vamos calcular
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Observamos que
é positivo e
é negativo. Como a função
é contínua (pois é a diferença de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que deve existir pelo menos um valor de
entre
e
onde
.
Resposta
Existe uma solução real
para a equação
no intervalo
.
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