Considere a seguinte equação não linear e^y-2 cos y=0
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 =-9 / 2, obtenha uma aproximação para y* com precisão de =0,01. Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a equação não linear e^y - 2 cos y = 0 e queremos encontrar uma solução aproximada para y^*. Para isso, vamos usar um método iterativo baseado em uma equação de recorrência, começando com o chute inicial y0 = -4,5. Vamos repetir as iterações até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor ou igual a 0,01. Vamos precisar entender como aplicar métodos numéricos para resolver equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos igualar a zero:
f(y) = e^y - 2 cos y
Para aplicar o método iterativo, precisamos da derivada dessa função:
f'(y) = e^y + 2 sin y
Vamos usar a fórmula de Newton-Raphson para a equação de recorrência:
yn+1 = yn - f(yn)f'(yn)

Passo 3

Começamos com o chute inicial:
y0 = -4,5
Calculamos f(y0) e f'(y0):
f(-4,5) = e^-4,5 - 2 cos(-4,5) approx 0,01111 - 2 times (-0,2108) approx 0,01111 + 0,4216 = 0,4327
f'(-4,5) = e^-4,5 + 2 sin(-4,5) approx 0,01111 + 2 times 0,9775 = 0,01111 + 1,9550 = 1,9661
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
y1 = -4,5 - 0,43271,9661 approx -4,5 - 0,2201 = -4,7201
Arredondando para 5 casas decimais:
y1 = -4,72010

Passo 4

Agora, usamos y1 = -4,72010 para encontrar y2.
Calculamos f(y1) e f'(y1):
f(-4,72010) = e^-4,72010 - 2 cos(-4,72010) approx 0,00895 - 2 times 0,00396 approx 0,00895 - 0,00792 = 0,00103
f'(-4,72010) = e^-4,72010 + 2 sin(-4,72010) approx 0,00895 + 2 times (-0,99999) approx 0,00895 - 1,99998 = -1,99103
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
y2 = -4,72010 - 0,00103-1,99103 approx -4,72010 + 0,00052 = -4,71958
Arredondando para 5 casas decimais:
y2 = -4,71958

Passo 5

Verificamos a diferença entre y2 e y1:
|y2 - y1| = |-4,71958 - (-4,72010)| = |0,00052| = 0,00052
Como 0,00052 < 0,01, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação para y^* com precisão de 0,01 é:
y^* approx -4,71958

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