Considere a seguinte equação não linear
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 , obtenha uma aproximação para y* com precisão de . Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a equação não linear e queremos encontrar uma solução aproximada para . Para isso, vamos usar um método iterativo baseado em uma equação de recorrência, começando com o chute inicial . Vamos repetir as iterações até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor ou igual a . Vamos precisar entender como aplicar métodos numéricos para resolver equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos igualar a zero:
Para aplicar o método iterativo, precisamos da derivada dessa função:
Vamos usar a fórmula de Newton-Raphson para a equação de recorrência:

Passo 3

Começamos com o chute inicial:
Calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Arredondando para 5 casas decimais:

Passo 4

Agora, usamos para encontrar .
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Arredondando para 5 casas decimais:

Passo 5

Verificamos a diferença entre e :
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação para com precisão de é:

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Considere a seguinte equação não linear
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
. Essa função
Quantas iterações são necessárias para que o método da bissecção encontre uma aproximação para a solução de no intervalo [1, 4], utilizando como precisão .
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Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por , no intervalo ( ).
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Encontre uma aproximação para a raiz desta equação pelo método da Bisseção, considerando .