Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
(a) 2 x=tan x x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da Posição Falsa. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar o método passo a passo até encontrar a solução com quatro casas decimais corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma f(x) = tan x - 2x = 0 . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escolher dois valores para f(0.5) = tan(0.5) - 2 times 0.5 approx 0.5463 - 1 = -0.4537 e calcular f(1.0) = tan(1.0) - 2 times 1.0 approx 1.5574 - 2 = -0.4426 :
Para f(0.0) = tan(0.0) - 2 times 0.0 = 0 - 0 = 0 :
f(0.9) = tan(0.9) - 2 times 0.9 approx 1.2602 - 1.8 = -0.5398
Para f(0.4) = tan(0.4) - 2 times 0.4 approx 0.4228 - 0.8 = -0.3772 :
f(0.45) = tan(0.45) - 2 times 0.45 approx 0.4911 - 0.9 = -0.4089
Como ambos os valores são negativos, precisamos escolher outro intervalo. Vamos tentar f(0.7854) = tan(0.7854) - 2 times 0.7854 approx 1 - 1.5708 = -0.5708 :
f(1.2) = tan(1.2) - 2 times 1.2 approx 2.5722 - 2.4 = 0.1722
E :
Ainda estamos com valores negativos. Vamos tentar :
Parece que precisamos ajustar nosso intervalo. Vamos tentar e :
Ainda não encontramos mudança de sinal. Vamos observar que próximo a , tende a zero. Vamos então escolher e (π/4 radianos):
Ainda negativo. Talvez precisamos verificar o comportamento da função para maiores valores de . Vamos para :
Agora, temos um valor positivo. Assim, nosso intervalo inicial é , onde e .

Passo 4

Aplicando o método da Posição Falsa, calculamos a próxima aproximação xr = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a) usando a fórmula:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 0.9)0.1722 - (-0.5398) = 1.2 - 0.1722 times 0.30.712 approx 1.2 - 0.0727 = 1.1273
Onde f(1.1273) = tan(1.1273) - 2 times 1.1273 approx 2.1851 - 2.2546 = -0.0695 , , , .
Substituindo:
Agora, calculamos :
Como é negativo, atualizamos .

Passo 5

Repetimos o processo:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1273)0.1722 - (-0.0695) = 1.2 - 0.1722 times 0.07270.2417 approx 1.2 - 0.0517 = 1.1483
Calculando f(1.1483) = tan(1.1483) - 2 times 1.1483 approx 2.2114 - 2.2966 = -0.0852 :
Como ainda é negativo, atualizamos .

Passo 6

Continuamos o método:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1483)0.1722 - (-0.0852) = 1.2 - 0.1722 times 0.05170.2574 approx 1.2 - 0.0345 = 1.1655
Calculando f(1.1655) = tan(1.1655) - 2 times 1.1655 approx 2.2953 - 2.3310 = -0.0357 :
Ainda negativo, então atualizamos .

Passo 7

Mais uma iteração:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1655)0.1722 - (-0.0357) = 1.2 - 0.1722 times 0.03450.2079 approx 1.2 - 0.0286 = 1.1714
Calculando f(1.1714) = tan(1.1714) - 2 times 1.1714 approx 2.3337 - 2.3428 = -0.0091 :
Ainda negativo, atualizamos .

Passo 8

Mais uma iteração para melhorar a precisão:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1714)0.1722 - (-0.0091) = 1.2 - 0.1722 times 0.02860.1813 approx 1.2 - 0.0271 = 1.1729
Calculando f(1.1729) = tan(1.1729) - 2 times 1.1729 approx 2.3413 - 2.3458 = -0.0045 :
Ainda negativo, atualizamos .

Passo 9

Outra iteração para alcançar a precisão desejada:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1729)0.1722 - (-0.0045) = 1.2 - 0.1722 times 0.02710.1767 approx 1.2 - 0.0264 = 1.1736
Calculando f(1.1736) = tan(1.1736) - 2 times 1.1736 approx 2.3451 - 2.3472 = -0.0021 :
Continuamos, atualizamos .

Passo 10

Mais uma aproximação:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1736)0.1722 - (-0.0021) = 1.2 - 0.1722 times 0.02640.1743 approx 1.2 - 0.0260 = 1.1740
Calculando f(1.1740) = tan(1.1740) - 2 times 1.1740 approx 2.3465 - 2.3480 = -0.0015 :
Atualizamos .

Passo 11

Continuamos até alcançar a precisão necessária:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1740)0.1722 - (-0.0015) = 1.2 - 0.1722 times 0.02600.1737 approx 1.2 - 0.0258 = 1.1742
Calculando f(1.1742) = tan(1.1742) - 2 times 1.1742 approx 2.3470 - 2.3484 = -0.0014 :
Continuamos, atualizando .

Passo 12

Mais uma iteração:
xr = 1.2 - 0.1722 times (1.2 - 1.1742)0.1722 - (-0.0014) = 1.2 - 0.1722 times 0.02580.1736 approx 1.2 - 0.0256 = 1.1744
Calculando f(1.1744) = tan(1.1744) - 2 times 1.1744 approx 2.3475 - 2.3488 = -0.0013 :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então atualizamos .

Resposta

Após aplicar o método da Posição Falsa, a raiz da equação x approx 1.1744 com quatro casas decimais corretas é aproximadamente:

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