Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o método da Posição Falsa. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar o método passo a passo até encontrar a solução com quatro casas decimais corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, precisamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos escolher dois valores para
e calcular
:
Para
:
Para
:
Como ambos os valores são negativos, precisamos escolher outro intervalo. Vamos tentar
:
E
:
Ainda estamos com valores negativos. Vamos tentar
:
Parece que precisamos ajustar nosso intervalo. Vamos tentar
e
:
Ainda não encontramos mudança de sinal. Vamos observar que próximo a
,
tende a zero. Vamos então escolher
e
(π/4 radianos):
Ainda negativo. Talvez precisamos verificar o comportamento da função para maiores valores de
. Vamos para
:
Agora, temos um valor positivo. Assim, nosso intervalo inicial é
, onde
e
.
Passo 4
Aplicando o método da Posição Falsa, calculamos a próxima aproximação
usando a fórmula:
Onde
,
,
,
.
Substituindo:
Agora, calculamos
:
Como
é negativo, atualizamos
.
Passo 5
Repetimos o processo:
Calculando
:
Como
ainda é negativo, atualizamos
.
Passo 6
Continuamos o método:
Calculando
:
Ainda negativo, então atualizamos
.
Passo 7
Mais uma iteração:
Calculando
:
Ainda negativo, atualizamos
.
Passo 8
Mais uma iteração para melhorar a precisão:
Calculando
:
Ainda negativo, atualizamos
.
Passo 9
Outra iteração para alcançar a precisão desejada:
Calculando
:
Continuamos, atualizamos
.
Passo 10
Mais uma aproximação:
Calculando
:
Atualizamos
.
Passo 11
Continuamos até alcançar a precisão necessária:
Calculando
:
Continuamos, atualizando
.
Passo 12
Mais uma iteração:
Calculando
:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então atualizamos
.
Resposta
Após aplicar o método da Posição Falsa, a raiz da equação
com quatro casas decimais corretas é aproximadamente:
Exercícios relacionados
O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(a) ;
(a)
Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
© .
©
O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(b) ,
no intervalo
(b)
no intervalo
Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;