Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da Posição Falsa. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar o método passo a passo até encontrar a solução com quatro casas decimais corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso indica que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escolher dois valores para e calcular :
Para :
Para :
Como ambos os valores são negativos, precisamos escolher outro intervalo. Vamos tentar :
E :
Ainda estamos com valores negativos. Vamos tentar :
Parece que precisamos ajustar nosso intervalo. Vamos tentar e :
Ainda não encontramos mudança de sinal. Vamos observar que próximo a , tende a zero. Vamos então escolher e (π/4 radianos):
Ainda negativo. Talvez precisamos verificar o comportamento da função para maiores valores de . Vamos para :
Agora, temos um valor positivo. Assim, nosso intervalo inicial é , onde e .

Passo 4

Aplicando o método da Posição Falsa, calculamos a próxima aproximação usando a fórmula:
Onde , , , .
Substituindo:
Agora, calculamos :
Como é negativo, atualizamos .

Passo 5

Repetimos o processo:
Calculando :
Como ainda é negativo, atualizamos .

Passo 6

Continuamos o método:
Calculando :
Ainda negativo, então atualizamos .

Passo 7

Mais uma iteração:
Calculando :
Ainda negativo, atualizamos .

Passo 8

Mais uma iteração para melhorar a precisão:
Calculando :
Ainda negativo, atualizamos .

Passo 9

Outra iteração para alcançar a precisão desejada:
Calculando :
Continuamos, atualizamos .

Passo 10

Mais uma aproximação:
Calculando :
Atualizamos .

Passo 11

Continuamos até alcançar a precisão necessária:
Calculando :
Continuamos, atualizando .

Passo 12

Mais uma iteração:
Calculando :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então atualizamos .

Resposta

Após aplicar o método da Posição Falsa, a raiz da equação com quatro casas decimais corretas é aproximadamente:

Exercícios relacionados

O problema pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar a convergência quando:
(a) ;
Determinar, usando o método da Posição Falsa, uma raiz de cada umas das equações, com quatro casas decimais corretas:
© .
O problema pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar a convergência quando:
(b) ,
no intervalo
Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;