Considere a equação não linear x=sin 2 x
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x = sin(2x) e precisa aplicar o método de Newton-Raphson pra resolver ela. Esse método é usado pra encontrar as raízes de equações não lineares, ou seja, os valores de x que fazem a equação igualar a zero. Aqui, vamos precisar saber como montar a fórmula de iteração do Newton-Raphson e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato f(x) = 0. Subtraindo sin(2x) de ambos os lados, temos:
f(x) = x - sin(2x)
Agora, queremos encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, xₙ é a aproximação atual e xₙ₊₁ é a próxima aproximação.

Passo 4

Precisamos calcular a derivada de f(x), ou seja, f’(x). Sabemos que:
f(x) = x - sin(2x)
Então, derivando termo a termo:
f'(x) = 1 - 2cos(2x)
A derivada de x é 1 e a derivada de sin(2x) é 2cos(2x).

Passo 5

Agora, substituímos f(x) e f’(x) na fórmula do Newton-Raphson:
xn+1 = xn - xn - sin(2xn)1 - 2cos(2xn)
Essa é a recorrência que vamos usar para iterar e aproximar a solução da equação.

Resposta

A recorrência para a iteração de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - xn - sin(2xn)1 - 2cos(2xn)

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