Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x = sin(2x) e precisa aplicar o método de Newton-Raphson pra resolver ela. Esse método é usado pra encontrar as raízes de equações não lineares, ou seja, os valores de x que fazem a equação igualar a zero. Aqui, vamos precisar saber como montar a fórmula de iteração do Newton-Raphson e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato f(x) = 0. Subtraindo sin(2x) de ambos os lados, temos:
Agora, queremos encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.
Passo 3
O método de Newton-Raphson usa a seguinte fórmula de iteração:
Aqui, xₙ é a aproximação atual e xₙ₊₁ é a próxima aproximação.
Passo 4
Precisamos calcular a derivada de f(x), ou seja, f’(x). Sabemos que:
Então, derivando termo a termo:
A derivada de x é 1 e a derivada de sin(2x) é 2cos(2x).
Passo 5
Agora, substituímos f(x) e f’(x) na fórmula do Newton-Raphson:
Essa é a recorrência que vamos usar para iterar e aproximar a solução da equação.
Resposta
A recorrência para a iteração de Newton-Raphson é:
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo ( ).
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo (
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Verifique que e que
é um ponto fixo para as funções obtidas.
Verifique que
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):