Considere a seguinte equação não linear e^y-2 cos y=0
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo ( -5,-4 ).

Passo 1

Vamos resolver a equação não linear . O objetivo é mostrar que existe uma solução real, chamada , no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função baseada na equação dada:
f(y) = e^y - 2 cos y
Queremos encontrar um valor de em que faça .

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, a função precisa ser contínua no intervalo . Sabemos que e são funções contínuas em todo o domínio real, então também é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de f(-5) = e^-5 - 2 cos(-5) = e^-5 - 2 cos(5) nos extremos do intervalo:
  • Para f(-5) approx e^-5 - 2(0,2837) approx 0,0067 - 0,5674 approx -0,5607 :
f(-4) = e^-4 - 2 cos(-4) = e^-4 - 2 cos(4)
Sabemos que f(-4) approx e^-4 - 2(-0,6536) approx 0,0183 + 1,3072 approx 1,3255 é aproximadamente 0,2837, então:
  • Para :
Sabemos que é aproximadamente -0,6536, então:

Passo 5

Observamos que:
f(-5) approx -0,5607 e f(-4) approx 1,3255
Como e , e é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Resposta

Portanto, a equação possui uma solução real no intervalo .

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