Considere a seguinte equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo (
).
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo (
Passo 1
Vamos resolver a equação não linear
. O objetivo é mostrar que existe uma solução real, chamada
, no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função baseada na equação dada:
Queremos encontrar um valor de
em
que faça
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, a função
precisa ser contínua no intervalo
. Sabemos que
e
são funções contínuas em todo o domínio real, então
também é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo:
- Para
:
Sabemos que
é aproximadamente 0,2837, então:
- Para
:
Sabemos que
é aproximadamente -0,6536, então:
Passo 5
Observamos que:
Como
e
, e
é contínua no intervalo
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
possui uma solução real
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
Use o método da bisseção para encontrar o zero da função
, onde
e
.
Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Verifique que e que
é um ponto fixo para as funções obtidas.
Verifique que