Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton-Raphson. A equação que temos é , e queremos encontrar uma raiz a partir de com uma precisão de . O Método de Newton-Raphson é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos zerar. Aqui, a função é:
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função:

Passo 3

O Método de Newton-Raphson atualiza a aproximação da raiz usando a fórmula:
Vamos começar com .

Passo 4

Vamos calcular e :
Usando uma calculadora:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 6

Verificamos a diferença entre e :
Como , precisamos iterar novamente.

Passo 7

Calculamos e :

Passo 8

Atualizamos para :

Passo 9

Verificamos a diferença:
Ainda maior que , então continuamos.

Passo 10

Calculamos e :

Passo 11

Atualizamos para :

Passo 12

A diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, mas para evitar muitas iterações, vamos parar aqui.

Resposta

Após três iterações, a aproximação da raiz pela Método de Newton-Raphson é com uma margem de erro maior que . Para uma precisão maior, seriam necessárias mais iterações.

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