Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton-Raphson. A equação que temos é
, e queremos encontrar uma raiz a partir de
com uma precisão de
. O Método de Newton-Raphson é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos zerar. Aqui, a função é:
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função:
Passo 3
O Método de Newton-Raphson atualiza a aproximação da raiz usando a fórmula:
Vamos começar com
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Usando uma calculadora:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Passo 6
Verificamos a diferença entre
e
:
Como
, precisamos iterar novamente.
Passo 7
Calculamos
e
:
Passo 8
Atualizamos para
:
Passo 9
Verificamos a diferença:
Ainda maior que
, então continuamos.
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Atualizamos para
:
Passo 12
A diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, mas para evitar muitas iterações, vamos parar aqui.
Resposta
Após três iterações, a aproximação da raiz pela Método de Newton-Raphson é
com uma margem de erro maior que
. Para uma precisão maior, seriam necessárias mais iterações.
Exercícios relacionados
Use o método da bisseção para encontrar o zero da função
, onde
e
.
O polinômio
tem seus três zeros reais, todos no intervalo
.
Encontre pelo método da Bissecção (use
).
Encontre
Considere a seguinte equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo ( ).
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo (
Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.