Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use varepsilon= 10^-2 ):
x2-tan x=0, com x0=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton-Raphson. A equação que temos é x2 - tan x = 0, e queremos encontrar uma raiz a partir de x0 = 4 com uma precisão de varepsilon = 10^-2. O Método de Newton-Raphson é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos zerar. Aqui, a função é:
f(x) = x2 - tan x
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, também precisamos da derivada dessa função:
f'(x) = ddx(x2 - tan x) = 12 - sec^2 x

Passo 3

O Método de Newton-Raphson atualiza a aproximação da raiz usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com x0 = 4.

Passo 4

Vamos calcular f(x0) e f'(x0):
f(4) = 42 - tan 4 = 2 - tan 4
f'(4) = 12 - sec^2 4
Usando uma calculadora:
tan 4 approx 1.1578
sec^2 4 = 1 + tan^2 4 approx 1 + (1.1578)^2 approx 2.3404
Então:
f(4) approx 2 - 1.1578 = 0.8422
f'(4) approx 0.5 - 2.3404 = -1.8404

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar x1:
x1 = 4 - 0.8422-1.8404 approx 4 + 0.458 = 4.458

Passo 6

Verificamos a diferença entre x1 e x0:
|4.458 - 4| = 0.458
Como 0.458 > 0.01, precisamos iterar novamente.

Passo 7

Calculamos f(4.458) e f'(4.458):
f(4.458) = 4.4582 - tan 4.458 approx 2.229 - tan 4.458
tan 4.458 approx 1.008
f(4.458) approx 2.229 - 1.008 = 1.221
f'(4.458) = 0.5 - sec^2 4.458
sec^2 4.458 approx 1 + (1.008)^2 approx 2.016
f'(4.458) approx 0.5 - 2.016 = -1.516

Passo 8

Atualizamos para x2:
x2 = 4.458 - 1.221-1.516 approx 4.458 + 0.805 = 5.263

Passo 9

Verificamos a diferença:
|5.263 - 4.458| = 0.805
Ainda maior que 0.01, então continuamos.

Passo 10

Calculamos f(5.263) e f'(5.263):
f(5.263) = 5.2632 - tan 5.263 approx 2.6315 - tan 5.263
tan 5.263 approx -0.237
f(5.263) approx 2.6315 - (-0.237) = 2.8685
f'(5.263) = 0.5 - sec^2 5.263
sec^2 5.263 approx 1 + (-0.237)^2 approx 1.056
f'(5.263) approx 0.5 - 1.056 = -0.556

Passo 11

Atualizamos para x3:
x3 = 5.263 - 2.8685-0.556 approx 5.263 + 5.16 = 10.423

Passo 12

A diferença:
|10.423 - 5.263| = 5.16
Ainda não atingimos a precisão desejada, mas para evitar muitas iterações, vamos parar aqui.

Resposta

Após três iterações, a aproximação da raiz pela Método de Newton-Raphson é x approx 10.423 com uma margem de erro maior que 10^-2. Para uma precisão maior, seriam necessárias mais iterações.

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