Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use varepsilon= 10^-2 ):
2 cos x=e^x2, com x0=1.5

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar de cálculo de derivadas e das iterações do método até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Nosso ponto inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Definimos:
f(x) = 2 cos x - e^x2
Queremos encontrar a raiz de , ou seja, o valor de que faz .

Passo 3

Calculamos a derivada de f'(x) = -2 sin x - e^x2 :
Essa derivada é necessária para as iterações do método de Newton-Raphson.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos usar essa fórmula para calcular as próximas aproximações.

Passo 5

Calculamos f(1.5) = 2 cos(1.5) - e^1.52 approx 2 times 0.0707 - 4.48172 approx 0.1414 - 2.2408 = -2.0994 e f'(1.5) = -2 sin(1.5) - e^1.52 approx -2 times 0.9975 - 2.2408 approx -1.995 - 2.2408 = -4.2358 para :

Passo 6

Calculamos x1 = 1.5 - -2.0994-4.2358 approx 1.5 - 0.495 = 1.005 usando a fórmula do método:
|x1 - x0| = |1.005 - 1.5| = 0.495 > 0.01
Verificamos a diferença:
Como a diferença é maior que , continuamos.

Passo 7

Calculamos f(1.005) = 2 cos(1.005) - e^1.0052 approx 2 times 0.5359 - 2.7372 approx 1.0718 - 1.3685 = -0.2967 e f'(1.005) = -2 sin(1.005) - e^1.0052 approx -2 times 0.8435 - 1.3685 approx -1.687 -1.3685 = -3.0555 para :

Passo 8

Calculamos x2 = 1.005 - -0.2967-3.0555 approx 1.005 - 0.097 = 0.908 :
|x2 - x1| = |0.908 - 1.005| = 0.097 > 0.01
Verificamos a diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos.

Passo 9

Calculamos f(0.908) = 2 cos(0.908) - e^0.9082 approx 2 times 0.6142 - 2.4802 approx 1.2284 - 1.240 = -0.0116 e f'(0.908) = -2 sin(0.908) - e^0.9082 approx -2 times 0.7891 - 1.240 approx -1.5782 -1.240 = -2.8182 para :

Passo 10

Calculamos x3 = 0.908 - -0.0116-2.8182 approx 0.908 - 0.0041 = 0.9039 :
|x3 - x2| = |0.9039 - 0.908| = 0.0041 < 0.01
Verificamos a diferença:
A diferença é menor que , então paramos as iterações.

Resposta

Uma raiz aproximada da equação é .

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