Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar de cálculo de derivadas e das iterações do método até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Nosso ponto inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Definimos:
Queremos encontrar a raiz de , ou seja, o valor de que faz .

Passo 3

Calculamos a derivada de :
Essa derivada é necessária para as iterações do método de Newton-Raphson.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos usar essa fórmula para calcular as próximas aproximações.

Passo 5

Calculamos e para :

Passo 6

Calculamos usando a fórmula do método:
Verificamos a diferença:
Como a diferença é maior que , continuamos.

Passo 7

Calculamos e para :

Passo 8

Calculamos :
Verificamos a diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos.

Passo 9

Calculamos e para :

Passo 10

Calculamos :
Verificamos a diferença:
A diferença é menor que , então paramos as iterações.

Resposta

Uma raiz aproximada da equação é .

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Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma .
Verifique que e que é um ponto fixo para as funções obtidas.
Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
. Essa função
Quantas iterações são necessárias para que o método da bissecção encontre uma aproximação para a solução de no intervalo [1, 4], utilizando como precisão .
Considere a seguinte equação não linear
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.