Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
Passo 1
Vamos resolver a equação
usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar de cálculo de derivadas e das iterações do método até que a diferença entre as aproximações seja menor que
. Nosso ponto inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Definimos:
Queremos encontrar a raiz de
, ou seja, o valor de
que faz
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Essa derivada é necessária para as iterações do método de Newton-Raphson.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos usar essa fórmula para calcular as próximas aproximações.
Passo 5
Calculamos
e
para
:
Passo 6
Calculamos
usando a fórmula do método:
Verificamos a diferença:
Como a diferença é maior que
, continuamos.
Passo 7
Calculamos
e
para
:
Passo 8
Calculamos
:
Verificamos a diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos.
Passo 9
Calculamos
e
para
:
Passo 10
Calculamos
:
Verificamos a diferença:
A diferença é menor que
, então paramos as iterações.
Resposta
Uma raiz aproximada da equação é
.
Exercícios relacionados
Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Verifique que e que
é um ponto fixo para as funções obtidas.
Verifique que
Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
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Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
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