Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação f(x)=0 através da sequência
xn+1=g(xn),
onde temos
f(x)=0 rightarrow x=g(x)
Considere a equação
x^2-3 x+2=0
que é da forma f(x)=0.
Verifique que f(2)=0 e que x=2 é um ponto fixo para as funções obtidas.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma equação quadrática e queremos resolver essa equação usando o método de iteração de ponto fixo. Basicamente, vamos verificar se e confirmar se é um ponto fixo para a função que montamos a partir dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é iteração de ponto fixo e como aplicá-la nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = x^2 - 3x + 2 . A função dada é:
f(2) = (2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0
Substituindo na função:
Então, de fato, , o que significa que é uma solução da equação .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x^2 - 3x + 2 = 0 é um ponto fixo para a função x = 3x - 2x . Na iteração de ponto fixo, reescrevemos a equação g(x) = 3x - 2x na forma g(2) = 3(2) - 22 = 6 - 22 = 42 = 2 . A ideia é que, se , então é um ponto fixo dessa função .
A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Então, nossa função fica:
Agora, vamos verificar se é um ponto fixo dessa função:
Como , concluímos que é realmente um ponto fixo para a função .

Resposta

Concluímos que e que é um ponto fixo para a função , confirmando que é uma solução da equação através da iteração de ponto fixo.

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