Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Verifique que
e que
é um ponto fixo para as funções obtidas.
Verifique que
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma equação quadrática
e queremos resolver essa equação usando o método de iteração de ponto fixo. Basicamente, vamos verificar se
e confirmar se
é um ponto fixo para a função que montamos a partir dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é iteração de ponto fixo e como aplicá-la nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
. A função dada é:
Substituindo
na função:
Então, de fato,
, o que significa que
é uma solução da equação
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um ponto fixo para a função
. Na iteração de ponto fixo, reescrevemos a equação
na forma
. A ideia é que, se
, então
é um ponto fixo dessa função
.
A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Então, nossa função
fica:
Agora, vamos verificar se
é um ponto fixo dessa função:
Como
, concluímos que
é realmente um ponto fixo para a função
.
Resposta
Concluímos que
e que
é um ponto fixo para a função
, confirmando que
é uma solução da equação
através da iteração de ponto fixo.
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