Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma .
Verifique que e que é um ponto fixo para as funções obtidas.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma equação quadrática e queremos resolver essa equação usando o método de iteração de ponto fixo. Basicamente, vamos verificar se e confirmar se é um ponto fixo para a função que montamos a partir dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é iteração de ponto fixo e como aplicá-la nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se . A função dada é:
Substituindo na função:
Então, de fato, , o que significa que é uma solução da equação .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um ponto fixo para a função . Na iteração de ponto fixo, reescrevemos a equação na forma . A ideia é que, se , então é um ponto fixo dessa função .
A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Então, nossa função fica:
Agora, vamos verificar se é um ponto fixo dessa função:
Como , concluímos que é realmente um ponto fixo para a função .

Resposta

Concluímos que e que é um ponto fixo para a função , confirmando que é uma solução da equação através da iteração de ponto fixo.

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Considere a equação não linear
Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Considere a seguinte equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por y*, no intervalo ( ).
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):
. Essa função
Quantas iterações são necessárias para que o método da bissecção encontre uma aproximação para a solução de no intervalo [1, 4], utilizando como precisão .