Considere a seguinte equação não linear
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação não linear que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma aproximação para o valor de que satisfaz essa equação usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar ele à nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Newton-Rapson. Esse método é uma técnica iterativa usada para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem com que . A ideia é começar com uma aproximação inicial e, em cada passo, refinar essa aproximação para chegar mais perto da raiz verdadeira.
A fórmula básica do método de Newton-Rapson é:
Aqui, é a aproximação atual, é o valor da função na aproximação atual, e é a derivada da função na aproximação atual.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa equação específica: . Primeiro, identificamos nossa função :
Em seguida, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a , que será :

Passo 4

Com e calculados, podemos agora colocar tudo na fórmula do método de Newton-Rapson:
Isso significa que, a cada iteração, você usa o valor atual de para calcular o próximo valor , aproximando-se cada vez mais da solução da equação.

Resposta

A recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação é:

Exercícios relacionados

. Essa função
Quantas iterações são necessárias para que o método da bissecção encontre uma aproximação para a solução de no intervalo [1, 4], utilizando como precisão .
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):
Considere a seguinte equação não linear
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 , obtenha uma aproximação para y* com precisão de . Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.
Considere a equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por , no intervalo ( ).