Considere a seguinte equação não linear
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação não linear que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma aproximação para o valor de
que satisfaz essa equação usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar ele à nossa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Newton-Rapson. Esse método é uma técnica iterativa usada para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que fazem com que
. A ideia é começar com uma aproximação inicial e, em cada passo, refinar essa aproximação para chegar mais perto da raiz verdadeira.
A fórmula básica do método de Newton-Rapson é:
Aqui,
é a aproximação atual,
é o valor da função na aproximação atual, e
é a derivada da função na aproximação atual.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa equação específica:
. Primeiro, identificamos nossa função
:
Em seguida, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a
, que será
:
Passo 4
Com
e
calculados, podemos agora colocar tudo na fórmula do método de Newton-Rapson:
Isso significa que, a cada iteração, você usa o valor atual de
para calcular o próximo valor
, aproximando-se cada vez mais da solução da equação.
Resposta
A recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação
é:
Exercícios relacionados
Quantas iterações são necessárias para que o método da bissecção encontre uma aproximação para a solução de
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
Considere a seguinte equação não linear
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0 , obtenha uma aproximação para y* com precisão de
. Represente os números com 5 casas decimais, realizando arredondamento ao invés de truncamento.
Através da equação de recorrência obtida no item anterior, utilizando como chute inicial y0
Considere a equação não linear
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por , no intervalo (
).
Mostre essa equação tem uma solução real, denotada por