Considere a seguinte equação não linear e^y-2 cos y=0
Uma aproximação para y* pode ser obtida através do método de Newton-Rapson. Escreva a recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação nãolinear acima.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação não linear que é e^y - 2 cos y = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar uma aproximação para o valor de y^* que satisfaz essa equação usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar ele à nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Newton-Rapson. Esse método é uma técnica iterativa usada para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de y que fazem com que f(y) = 0. A ideia é começar com uma aproximação inicial e, em cada passo, refinar essa aproximação para chegar mais perto da raiz verdadeira.
A fórmula básica do método de Newton-Rapson é:
yn+1 = yn - f(yn)f'(yn)
Aqui, yn é a aproximação atual, f(yn) é o valor da função na aproximação atual, e f'(yn) é a derivada da função na aproximação atual.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa equação específica: e^y - 2 cos y = 0. Primeiro, identificamos nossa função f(y):
f(y) = e^y - 2 cos y
Em seguida, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a y, que será f'(y):
f'(y) = ddy (e^y) - ddy (2 cos y) = e^y + 2 sin y

Passo 4

Com f(y) e f'(y) calculados, podemos agora colocar tudo na fórmula do método de Newton-Rapson:
yn+1 = yn - e^yn - 2 cos yne^yn + 2 sin yn
Isso significa que, a cada iteração, você usa o valor atual de yn para calcular o próximo valor yn+1, aproximando-se cada vez mais da solução da equação.

Resposta

A recorrência que define a iteração de Newton-Rapson para a equação e^y - 2 cos y = 0 é:
yn+1 = yn - e^yn - 2 cos yne^yn + 2 sin yn

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