Considere a equação 2 x^2-5 x+2=0, onde 0,5 e 2,0 são raízes. Considere ainda os processos iterativos:
a- Xk+1=2 xk ^2+2
b- Xk+1=raiz5 X k-22
Qual dos processos você utilizaria para obter a raiz 0,5 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática que tem duas soluções: 0,5 e 2,0. A gente também tem dois processos iterativos diferentes para tentar encontrar essas soluções. Nosso objetivo aqui é descobrir qual desses processos é melhor para encontrar a raiz 0,5 e entender o motivo disso. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os métodos iterativos e como eles se aplicam para encontrar raízes de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo iterativo. Basicamente, é um método que, começando de um palpite inicial, gera uma sequência de aproximações que, idealmente, se aproximam cada vez mais da solução que estamos procurando. No nosso caso, queremos que essa sequência chegue perto de 0,5.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro processo iterativo:
Xk+1 = 2 Xk^2 + 2
Esse processo pega o valor atual Xk+1 = 2 (0,5)^2 + 2 = 2 times 0,25 + 2 = 0,5 + 2 = 2,5 , calcula o quadrado dele, multiplica por 2 e adiciona 2. Agora, se a gente testar com o valor da raiz 0,5:
Vemos que ao usar 0,5 no processo, a próxima iteração dá 2,5, que não é próxima da raiz que estamos procurando. Isso indica que esse processo não está se aproximando de 0,5, mas sim indo para outro valor.

Passo 4

Agora vamos olhar o segundo processo iterativo:
Xk+1 = raiz5 Xk - 22
Esse processo envolve uma raiz quadrada, o que já dá uma dica de que ele pode convergir para uma solução específica. Vamos testar com Xk+1 = raiz5 times 0,5 - 22 = raiz2,5 - 22 = raiz0,52 = raiz0,25 = 0,5 :
Aqui, usamos 0,5 e voltamos exatamente para 0,5. Isso mostra que 0,5 é um ponto fixo desse processo, ou seja, se chegarmos nele, o processo vai manter o valor igual, confirmando que estamos na raiz correta.

Passo 5

Além disso, observando o comportamento do segundo processo próximo de 0,5, ele tende a estabilizar nesse valor, enquanto o primeiro processo não apresenta essa estabilidade. Isso se deve à forma como a equação foi rearranjada no processo b, que aproveita a estrutura da raiz 0,5 para garantir a convergência.

Resposta

Eu utilizaria o processo b:
Xk+1 = raiz5 Xk - 22
porque ele converge para a raiz 0,5, garantindo que as iterações se aproximem desse valor.

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