Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio C num rio, em função da distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes:
C(x)=10-20(e^-0,2 x-e^-0,75 x)
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas (Newton), a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5 . Utilize para aproximação inicial o valor x1=1.0 e considere varepsilon 1 =varepsilon 2=10^-2 ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a distância onde o nível de oxigênio no rio cai para 5 usando a equação dada. Vamos usar o método de Newton, que envolve cálculo de derivadas. Para isso, vamos precisar entender a função , calcular suas derivadas e seguir as iterações do método de Newton até chegar perto da resposta com a precisão que a questão pede.

Passo 2

Primeiro, vamos definir qual é a equação que queremos resolver. A gente quer encontrar C(x) = 5 tal que:
C(x) = 10 - 20(e^-0,2 x - e^-0,75 x)
Dada a função:
f(x) = C(x) - 5 = 10 - 20(e^-0,2 x - e^-0,75 x) - 5 = 5 - 20(e^-0,2 x - e^-0,75 x)
Para usar o método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo . Então, vamos rearranjar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx[5 - 20(e^-0,2 x - e^-0,75 x)] = -20(-0,2 e^-0,2 x + 0,75 e^-0,75 x) = 4 e^-0,2 x - 15 e^-0,75 x , que é essencial para o método de Newton. A derivada de em relação a é :

Passo 4

Vamos começar as iterações do método de Newton. A fórmula para o próximo valor de xnovo = xatual - f(xatual)f'(xatual) é:
f(1.0) = 5 - 20(e^-0,2 times 1 - e^-0,75 times 1) = 5 - 20(e^-0,2 - e^-0,75) approx 5 - 20(0,8187 - 0,4724) = 5 - 20(0,3463) = 5 - 6,9259 = -1,9259
Nosso palpite inicial é f'(1.0) = 4 e^-0,2 times 1 - 15 e^-0,75 times 1 = 4 e^-0,2 - 15 e^-0,75 approx 4 times 0,8187 - 15 times 0,4724 = 3,2748 - 7,086 = -3,8112 .
Iteração 1:
Calculamos x2 = 1.0 - -1,9259-3,8112 approx 1.0 - 0,506 = 0,494 e :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Iteração 2:
Agora, com f(0,494) = 5 - 20(e^-0,2 times 0,494 - e^-0,75 times 0,494) approx 5 - 20(e^-0,0988 - e^-0,3705) approx 5 - 20(0,9065 - 0,6903) = 5 - 20(0,2162) = 5 - 4,324 = 0,676 :
f'(0,494) = 4 e^-0,2 times 0,494 - 15 e^-0,75 times 0,494 approx 4 e^-0,0988 - 15 e^-0,3705 approx 4 times 0,9065 - 15 times 0,6903 approx 3,626 - 10,3545 = -6,7285
x3 = 0,494 - 0,676-6,7285 approx 0,494 + 0,1005 = 0,5945
Aplicando novamente:

Resposta

Após duas iterações, a distância aproximada para a qual o nível de oxigênio desce para 5 é unidades.

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