Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio C num rio, em função da distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes:
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas (Newton), a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5 . Utilize para aproximação inicial o valor e considere ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a distância onde o nível de oxigênio no rio cai para 5 usando a equação dada. Vamos usar o método de Newton, que envolve cálculo de derivadas. Para isso, vamos precisar entender a função , calcular suas derivadas e seguir as iterações do método de Newton até chegar perto da resposta com a precisão que a questão pede.

Passo 2

Primeiro, vamos definir qual é a equação que queremos resolver. A gente quer encontrar tal que:
Dada a função:
Para usar o método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo . Então, vamos rearranjar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de , que é essencial para o método de Newton. A derivada de em relação a é :

Passo 4

Vamos começar as iterações do método de Newton. A fórmula para o próximo valor de é:
Nosso palpite inicial é .
Iteração 1:
Calculamos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Iteração 2:
Agora, com :
Aplicando novamente:

Resposta

Após duas iterações, a distância aproximada para a qual o nível de oxigênio desce para 5 é unidades.

Exercícios relacionados

Encontre uma raiz aproximada com erro de para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível.
a- em
b- em
c- em
0 que são erros de arredondamento e erro de truncamento?
. , o que podemos concluir a respeito das raízes de no intervalo (a,b) ?