Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio C num rio, em função da distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes:
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas (Newton), a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5 . Utilize para aproximação inicial o valor
e considere
ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a distância
onde o nível de oxigênio no rio cai para 5 usando a equação dada. Vamos usar o método de Newton, que envolve cálculo de derivadas. Para isso, vamos precisar entender a função
, calcular suas derivadas e seguir as iterações do método de Newton até chegar perto da resposta com a precisão que a questão pede.
Passo 2
Primeiro, vamos definir qual é a equação que queremos resolver. A gente quer encontrar
tal que:
Dada a função:
Para usar o método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo
. Então, vamos rearranjar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
, que é essencial para o método de Newton. A derivada de
em relação a
é
:
Passo 4
Vamos começar as iterações do método de Newton. A fórmula para o próximo valor de
é:
Nosso palpite inicial é
.
Iteração 1:
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Iteração 2:
Agora, com
:
Aplicando novamente:
Resposta
Após duas iterações, a distância aproximada para a qual o nível de oxigênio desce para 5 é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
0 que são erros de arredondamento e erro de truncamento?