Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-4 para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível.
a- G(x)=x^3-3 x+3 em [-3,-2]
b- H(x)=cos (x)-e^x em [-2,-1]
c- P(x)=x-2 sen(x) em [-2,-1]

Passo 1

Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função no intervalo usando o método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.

Passo 2

Calculemos a derivada de G'(x) = 3x^2 - 3 :

Passo 3

Escolhemos um ponto inicial que está dentro do intervalo .

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
x1 = x0 - G(x0)G'(x0)
Calculando:
G(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1
G'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9
x1 = -2 - 19 approx -2.1111

Passo 5

Verificamos o erro:
|x1 - x0| = |-2.1111 - (-2)| = 0.1111
Como , continuamos a iteração.

Passo 6

Calculamos G(-2.1111) approx (-2.1111)^3 - 3(-2.1111) + 3 approx -9.4321 + 6.3333 + 3 approx -0.0988 e G'(-2.1111) = 3(-2.1111)^2 - 3 approx 13.3889 - 3 = 10.3889 :
x2 = -2.1111 - -0.098810.3889 approx -2.1111 + 0.0095 = -2.1016

Passo 7

Verificamos o erro:
|x2 - x1| = |-2.1016 - (-2.1111)| = 0.0095
Como , continuamos.

Passo 8

Calculamos G(-2.1016) approx (-2.1016)^3 - 3(-2.1016) + 3 approx -9.2913 + 6.3048 + 3 approx 0.0135 e G'(-2.1016) = 3(-2.1016)^2 - 3 approx 13.2732 - 3 = 10.2732 :
x3 = -2.1016 - 0.013510.2732 approx -2.1016 - 0.0013 = -2.1029

Passo 9

Verificamos o erro:
|x3 - x2| = |-2.1029 - (-2.1016)| = 0.0013
Como , continuamos.

Passo 10

Calculamos G(-2.1029) approx (-2.1029)^3 - 3(-2.1029) + 3 approx -9.3083 + 6.3087 + 3 approx 0.0004 e G'(-2.1029) = 3(-2.1029)^2 - 3 approx 13.2672 - 3 = 10.2672 :
x4 = -2.1029 - 0.000410.2672 approx -2.1029 - 0.0000 = -2.1029

Passo 11

Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função no intervalo usando o método de Newton-Raphson. Precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.

Passo 12

Calculemos a derivada de H'(x) = -sin(x) - e^x :

Passo 13

Escolhemos um ponto inicial que está dentro do intervalo .

Passo 14

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
x1 = x0 - H(x0)H'(x0)
Calculando:
H(-1.5) = cos(-1.5) - e^-1.5 approx 0.0707 - 0.2231 = -0.1524
H'(-1.5) = -sin(-1.5) - e^-1.5 approx 0.9975 - 0.2231 = 0.7744
x1 = -1.5 - -0.15240.7744 approx -1.5 + 0.1967 = -1.3033

Passo 15

Verificamos o erro:
|x1 - x0| = |-1.3033 - (-1.5)| = 0.1967
Como , continuamos a iteração.

Passo 16

Calculamos H(-1.3033) = cos(-1.3033) - e^-1.3033 approx 0.2673 - 0.2711 = -0.0038 e H'(-1.3033) = -sin(-1.3033) - e^-1.3033 approx 0.9632 - 0.2711 = 0.6921 :
x2 = -1.3033 - -0.00380.6921 approx -1.3033 + 0.0055 = -1.2978

Passo 17

Verificamos o erro:
|x2 - x1| = |-1.2978 - (-1.3033)| = 0.0055
Como , continuamos.

Passo 18

Calculamos H(-1.2978) = cos(-1.2978) - e^-1.2978 approx 0.2678 - 0.2730 = -0.0052 e H'(-1.2978) = -sin(-1.2978) - e^-1.2978 approx 0.9639 - 0.2730 = 0.6909 :
x3 = -1.2978 - -0.00520.6909 approx -1.2978 + 0.0075 = -1.2903

Passo 19

Verificamos o erro:
|x3 - x2| = |-1.2903 - (-1.2978)| = 0.0075
Como , continuamos.

Passo 20

Repetimos o processo até que o erro seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Passo 21

Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função no intervalo usando o método de Newton-Raphson. Precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.

Passo 22

Calculemos a derivada de P'(x) = 1 - 2cos(x) :

Passo 23

Escolhemos um ponto inicial que está dentro do intervalo .

Passo 24

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Rapson:
x1 = x0 - P(x0)P'(x0)
Calculando:
P(-1.5) = -1.5 - 2sin(-1.5) approx -1.5 + 2(0.9975) approx -1.5 + 1.995 = 0.495
P'(-1.5) = 1 - 2cos(-1.5) approx 1 - 2(0.0707) = 1 - 0.1414 = 0.8586
x1 = -1.5 - 0.4950.8586 approx -1.5 - 0.5756 = -2.0756

Passo 25

Verificamos o erro:
|x1 - x0| = |-2.0756 - (-1.5)| = 0.5756
Como , continuamos a iteração.

Passo 26

Calculamos P(-2.0756) = -2.0756 - 2sin(-2.0756) approx -2.0756 + 2(0.8815) = -2.0756 + 1.763 = -0.3126 e P'(-2.0756) = 1 - 2cos(-2.0756) approx 1 - 2(-0.4745) = 1 + 0.949 = 1.949 :
x2 = -2.0756 - -0.31261.949 approx -2.0756 + 0.1605 = -1.9151

Passo 27

Verificamos o erro:
|x2 - x1| = |-1.9151 - (-2.0756)| = 0.1605
Como , continuamos.

Passo 28

Calculamos P(-1.9151) = -1.9151 - 2sin(-1.9151) approx -1.9151 + 2(0.9403) = -1.9151 + 1.8806 = -0.0345 e P'(-1.9151) = 1 - 2cos(-1.9151) approx 1 - 2(-0.3400) = 1 + 0.6800 = 1.6800 :
x3 = -1.9151 - -0.03451.6800 approx -1.9151 + 0.0205 = -1.8946

Passo 29

Verificamos o erro:
|x3 - x2| = |-1.8946 - (-1.9151)| = 0.0205
Como , continuamos.

Passo 30

Repetimos o processo até que o erro seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

A raiz aproximada de no intervalo é .

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