Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método de Newton-Rapson, se possível.
a-
em
b-
em
c-
em
a-
b-
c-
Passo 1
Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função
no intervalo
usando o método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Passo 3
Escolhemos um ponto inicial
que está dentro do intervalo
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Calculando:
Passo 5
Verificamos o erro:
Como
, continuamos a iteração.
Passo 6
Calculamos
e
:
Passo 7
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 8
Calculamos
e
:
Passo 9
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função
no intervalo
usando o método de Newton-Raphson. Precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.
Passo 12
Calculemos a derivada de
:
Passo 13
Escolhemos um ponto inicial
que está dentro do intervalo
.
Passo 14
Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Calculando:
Passo 15
Verificamos o erro:
Como
, continuamos a iteração.
Passo 16
Calculamos
e
:
Passo 17
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 18
Calculamos
e
:
Passo 19
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 20
Repetimos o processo até que o erro seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a:
Passo 21
Vamos encontrar uma raiz aproximada para a função
no intervalo
usando o método de Newton-Raphson. Precisamos calcular a derivada da função e escolher um ponto inicial dentro do intervalo.
Passo 22
Calculemos a derivada de
:
Passo 23
Escolhemos um ponto inicial
que está dentro do intervalo
.
Passo 24
Aplicamos a fórmula do método de Newton-Rapson:
Calculando:
Passo 25
Verificamos o erro:
Como
, continuamos a iteração.
Passo 26
Calculamos
e
:
Passo 27
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 28
Calculamos
e
:
Passo 29
Verificamos o erro:
Como
, continuamos.
Passo 30
Repetimos o processo até que o erro seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a:
Resposta
A raiz aproximada de
no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método da bisseção.
a-
b-
c-
d-
a-
b-
c-
d-
Mostre que, no método do ponto fixo, se
, então
.
Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio C num rio, em função da distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes:
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas (Newton), a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5 . Utilize para aproximação inicial o valor
e considere
ou no máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.