Considere a equação e^x-(x+5)=0 para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão 10^-8 partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema é encontrar quantas vezes a gente precisa aplicar o método da bissecção para achar a raiz da equação perto de com uma precisão de . A gente vai precisar entender como funciona o método da bissecção e usar a fórmula que determina o número de iterações necessárias baseado no intervalo inicial, na precisão desejada e que o método garante a aproximação da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. Ele é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo inicial ao meio e verificar em qual subintervalo a raiz está, repetindo esse processo até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Para calcular o número de iterações necessárias, usamos a seguinte fórmula:
n >= log(b - a) - log(varepsilon)log(2)
Onde:
  • e são os limites do intervalo inicial.
  • é a precisão desejada.
  • é o número de iterações.

Passo 4

No nosso caso:
  • n >= log(2 - 0) - log(10^-8)log(2) = log(2) - (-8 log(10))log(2)
Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Simplificando os logs:
n >= log(2) + 8 log(10)log(2)
Sabemos que n >= 0.693147 + 8 times 2.3025850.693147 = 0.693147 + 18.420680.693147 = 19.1138270.693147 approx 27.56 e . Substituindo:

Passo 6

Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, são necessárias pelo menos 28 iterações para alcançar a precisão de .

Resposta

São necessárias 28 iterações do método da bissecção para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão de partindo do intervalo [0, 2].

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