Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão
partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema é encontrar quantas vezes a gente precisa aplicar o método da bissecção para achar a raiz da equação
perto de
com uma precisão de
. A gente vai precisar entender como funciona o método da bissecção e usar a fórmula que determina o número de iterações necessárias baseado no intervalo inicial, na precisão desejada e que o método garante a aproximação da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. Ele é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo inicial ao meio e verificar em qual subintervalo a raiz está, repetindo esse processo até atingir a precisão desejada.
Passo 3
Para calcular o número de iterações necessárias, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
e são os limites do intervalo inicial. -
é a precisão desejada. -
é o número de iterações.
Passo 4
No nosso caso:
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Simplificando os logs:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 6
Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, são necessárias pelo menos 28 iterações para alcançar a precisão de
.
Resposta
São necessárias 28 iterações do método da bissecção para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão de
partindo do intervalo [0, 2].
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Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão
Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma
pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz
da equação
. Dê uma condição necessária sobre
para a convergência do método para
.