Considere a equação para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema é encontrar quantas vezes a gente precisa aplicar o método da bissecção para achar a raiz da equação perto de com uma precisão de . A gente vai precisar entender como funciona o método da bissecção e usar a fórmula que determina o número de iterações necessárias baseado no intervalo inicial, na precisão desejada e que o método garante a aproximação da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. Ele é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo inicial ao meio e verificar em qual subintervalo a raiz está, repetindo esse processo até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Para calcular o número de iterações necessárias, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • e são os limites do intervalo inicial.
  • é a precisão desejada.
  • é o número de iterações.

Passo 4

No nosso caso:
Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Simplificando os logs:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 6

Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, são necessárias pelo menos 28 iterações para alcançar a precisão de .

Resposta

São necessárias 28 iterações do método da bissecção para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão de partindo do intervalo [0, 2].

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e
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Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz da equação . Dê uma condição necessária sobre para a convergência do método para .