Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
x cos x-2 x^2+3 x-1=0,[0,2 ; 0,3] e [1,2 ; 1,3]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma solução em dois intervalos diferentes: e . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz entre esses pontos.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro intervalo f(0) = 0 cdot cos(0) - 2(0)^2 + 3(0) - 1 = -1 . Aqui, precisamos calcular o valor da função f(2) = 2 cdot cos(2) - 2(2)^2 + 3(2) - 1 nos extremos desse intervalo.
Quando cos(2) approx -0,4161 :
f(2) approx 2(-0,4161) - 8 + 6 -1 = -0,8322 -8 +6 -1 = -3,8322
Quando :
Calculando:
Ambos os valores são negativos, o que significa que não há mudança de sinal neste intervalo. Portanto, não podemos garantir uma solução aqui usando o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo intervalo f(1) = 1 cdot cos(1) - 2(1)^2 + 3(1) - 1 .
Quando cos(1) approx 0,5403 :
f(1) approx 0,5403 - 2 + 3 -1 = 0,5403
Calculando:
f(3) = 3 cdot cos(3) - 2(3)^2 + 3(3) -1
cos(3) approx -0,98999
Quando f(3) approx 3(-0,98999) - 18 + 9 -1 = -2,96997 -18 +9 -1 = -12,96997 :
Calculando:
Aqui, é positivo e é negativo, o que indica uma mudança de sinal no intervalo . Segundo o Teorema do Valor Intermediário, isso garante que existe pelo menos uma solução para nesse intervalo.

Resposta

A equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

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