Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma solução em dois intervalos diferentes:
e
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz entre esses pontos.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro intervalo
. Aqui, precisamos calcular o valor da função
nos extremos desse intervalo.
Quando
:
Quando
:
Calculando:
Ambos os valores são negativos, o que significa que não há mudança de sinal neste intervalo. Portanto, não podemos garantir uma solução aqui usando o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo intervalo
.
Quando
:
Calculando:
Quando
:
Calculando:
Aqui,
é positivo e
é negativo, o que indica uma mudança de sinal no intervalo
. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, isso garante que existe pelo menos uma solução para
nesse intervalo.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.