Seja , para qual zero de o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função e pede para usarmos o Método da Bissecção no intervalo para encontrar qual raiz a gente vai conseguir com uma precisão de 3 algarismos. Vamos precisar entender como funciona o Método da Bissecção e identificar onde a função muda de sinal no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método da Bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e verificar em qual delas a função muda de sinal, repetindo o processo até chegar na precisão desejada.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos identificar onde a função muda de sinal no intervalo . Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Simplificando:
Calculando cada parte:

Passo 5

Agora, calculando :
Simplificando:
Calculando cada parte:

Passo 6

Observamos que e . Como os sinais são diferentes (um negativo e um positivo), sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo pelo Teorema de Bolzano.

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos. O método envolve:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Determinar em qual subintervalo ou a função muda de sinal.
  4. Repetir o processo no subintervalo escolhido até atingir a precisão desejada.

Passo 8

Primeira iteração:
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 9

Segunda iteração:
Calculando :
Como ainda é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 10

Terceira iteração:
Calculando :
Agora, é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 11

Continuamos esse processo até que a precisão seja de 3 algarismos. Após várias iterações, chegamos que a raiz no intervalo é aproximadamente:

Resposta

A raiz para a qual o Método da Bissecção converge no intervalo é .

Exercícios relacionados

Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Plote, em uma mesma janela, as soluções numérica e analítica para o PVI abaixo, usando o comando ode45.
Considere a equação para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .