Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função
e pede para usarmos o Método da Bissecção no intervalo
para encontrar qual raiz a gente vai conseguir com uma precisão de 3 algarismos. Vamos precisar entender como funciona o Método da Bissecção e identificar onde a função muda de sinal no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método da Bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e verificar em qual delas a função muda de sinal, repetindo o processo até chegar na precisão desejada.
Passo 3
Para aplicar o método, precisamos identificar onde a função
muda de sinal no intervalo
. Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Passo 5
Agora, calculando
:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Passo 6
Observamos que
e
. Como os sinais são diferentes (um negativo e um positivo), sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo
pelo Teorema de Bolzano.
Passo 7
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos. O método envolve:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Determinar em qual subintervalo
ou a função muda de sinal. - Repetir o processo no subintervalo escolhido até atingir a precisão desejada.
Passo 8
Primeira iteração:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Segunda iteração:
Calculando
:
Como
ainda é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Terceira iteração:
Calculando
:
Agora,
é positivo, então a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Continuamos esse processo até que a precisão seja de 3 algarismos. Após várias iterações, chegamos que a raiz no intervalo
é aproximadamente:
Resposta
A raiz para a qual o Método da Bissecção converge no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Plote, em uma mesma janela, as soluções numérica e analítica para o PVI abaixo, usando o comando ode45.
Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão