Seja f(x)=(x+2)(x+1)^2 x(x-1)^3(x-2), para qual zero de f o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
[-0,5 ; 2,4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função e pede para usarmos o Método da Bissecção no intervalo para encontrar qual raiz a gente vai conseguir com uma precisão de 3 algarismos. Vamos precisar entender como funciona o Método da Bissecção e identificar onde a função muda de sinal no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método da Bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e verificar em qual delas a função muda de sinal, repetindo o processo até chegar na precisão desejada.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos identificar onde a função muda de sinal no intervalo . Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando f(-0,5) = (-0,5 + 2) cdot (-0,5 + 1)^2 cdot (-0,5) cdot (-0,5 -1)^3 cdot (-0,5 -2) :
f(-0,5) = (1,5) cdot (0,5)^2 cdot (-0,5) cdot (-1,5)^3 cdot (-2,5)
Simplificando:
1,5 cdot 0,25 cdot (-0,5) cdot (-3,375) cdot (-2,5) approx 1,5 cdot 0,25 cdot (-0,5) cdot (-3,375) cdot (-2,5) approx -1,578125
Calculando cada parte:

Passo 5

Agora, calculando f(2,4) = (2,4 + 2) cdot (2,4 + 1)^2 cdot 2,4 cdot (2,4 -1)^3 cdot (2,4 -2) :
f(2,4) = (4,4) cdot (3,4)^2 cdot 2,4 cdot (1,4)^3 cdot (0,4)
Simplificando:
4,4 cdot 11,56 cdot 2,4 cdot 2,744 cdot 0,4 approx 4,4 cdot 11,56 cdot 2,4 cdot 2,744 cdot 0,4 approx 115,396
Calculando cada parte:

Passo 6

Observamos que e . Como os sinais são diferentes (um negativo e um positivo), sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo pelo Teorema de Bolzano.

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos. O método envolve:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Determinar em qual subintervalo ou a função muda de sinal.
  4. Repetir o processo no subintervalo escolhido até atingir a precisão desejada.

Passo 8

Primeira iteração:
a = -0,5, b = 2,4
m = -0,5 + 2,42 = 1,92 = 0,95
Calculando f(0,95) = (0,95 + 2) cdot (0,95 + 1)^2 cdot 0,95 cdot (0,95 -1)^3 cdot (0,95 -2) :
f(0,95) approx 2,95 cdot 1,95^2 cdot 0,95 cdot (-0,05)^3 cdot (-1,05) approx -0,250
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 9

Segunda iteração:
a = 0,95, b = 2,4
m = 0,95 + 2,42 = 3,352 = 1,675
Calculando f(1,675) = (1,675 + 2) cdot (1,675 + 1)^2 cdot 1,675 cdot (1,675 -1)^3 cdot (1,675 -2) :
f(1,675) approx 3,675 cdot 2,675^2 cdot 1,675 cdot 0,675^3 cdot (-0,325) approx -3,050
Como ainda é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 10

Terceira iteração:
a = 1,675, b = 2,4
m = 1,675 + 2,42 = 4,0752 = 2,0375
Calculando f(2,0375) = (2,0375 + 2) cdot (2,0375 + 1)^2 cdot 2,0375 cdot (2,0375 -1)^3 cdot (2,0375 -2) :
f(2,0375) approx 4,0375 cdot 3,0375^2 cdot 2,0375 cdot 1,0375^3 cdot 0,0375 approx 35,5
Agora, é positivo, então a raiz está no intervalo .

Passo 11

Continuamos esse processo até que a precisão seja de 3 algarismos. Após várias iterações, chegamos que a raiz no intervalo é aproximadamente:

Resposta

A raiz para a qual o Método da Bissecção converge no intervalo é .

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