Considere a equação e^x-(x+5)=0 para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão 10^-4. Em seguida repita com o método da falsa posição.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a equação usando dois métodos numéricos: o algoritmo da bisseção e o método da falsa posição. Esses métodos ajudam a encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolvê-las facilmente de forma exata. Para isso, vamos precisar identificar intervalos onde a função muda de sinal e então aplicar cada método para chegar perto das soluções com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Queremos encontrar os valores de onde . Para isso, precisamos encontrar intervalos onde a função muda de negativos para positivos ou vice-versa, indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de para encontrar esses intervalos:
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
Como houve uma mudança de positivo para negativo entre e , sabemos que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos testar para e :
  • Para : (negativo)
  • Para : (positivo)
Novamente, houve uma mudança de negativo para positivo entre e , indicando outra raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora que temos dois intervalos onde há raízes, vamos aplicar o algoritmo da bisseção em cada um deles para encontrar as raízes com precisão de .

Passo 6

Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo c = -5 + (-4)2 = -4.5

Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
f(-4.5) = e^-4.5 - (-4.5) - 5 approx 0.0111 + 4.5 - 5 = -0.4889
Calculamos c = -5 + (-4.5)2 = -4.75 :
f(-4.75) = e^-4.75 - (-4.75) - 5 approx 0.0086 + 4.75 - 5 = -0.2414
Como c = 1 + 22 = 1.5 e f(1.5) = e^1.5 - 1.5 - 5 approx 4.4817 - 1.5 - 5 = -2.0183 , a raiz está entre c = 1.5 + 22 = 1.75 .
Passo 6.2: Novo ponto médio:
f(1.75) = e^1.75 - 1.75 - 5 approx 5.7546 - 1.75 - 5 = -1.9954
Calculamos :
A raiz está entre .
Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que .

Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo

Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está entre .
Passo 6.2: Novo ponto médio:
Calculamos :
A raiz está entre .
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 7

Após várias iterações do método da bisseção nos dois intervalos, chegamos às seguintes aproximações para as raízes:
  • Raiz no intervalo : Aproximadamente
  • Raiz no intervalo : Aproximadamente

Passo 8

Agora, vamos usar o método da falsa posição para encontrar as mesmas raízes com a mesma precisão de .

Passo 9

Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo c = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b) = -4 - f(-4)(-5 - (-4))f(-5) - f(-4)

Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
c = -4 - (-0.9817)(-1)0.0067 - (-0.9817) approx -4 - 0.98170.9884 approx -4.9819
Substituindo os valores:
c = 2 - f(2)(1 - 2)f(1) - f(2) = 2 - 0.389(-1)-3.282 - 0.389 approx 2 - -0.389-3.671 approx 2 - 0.106 approx 1.894
Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de .

Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo

Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de .

Resposta

Utilizando os métodos da bisseção e da falsa posição, as raízes da equação com precisão de são aproximadamente:

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