Considere a equação para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão . Em seguida repita com o método da falsa posição.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a equação usando dois métodos numéricos: o algoritmo da bisseção e o método da falsa posição. Esses métodos ajudam a encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolvê-las facilmente de forma exata. Para isso, vamos precisar identificar intervalos onde a função muda de sinal e então aplicar cada método para chegar perto das soluções com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Queremos encontrar os valores de onde . Para isso, precisamos encontrar intervalos onde a função muda de negativos para positivos ou vice-versa, indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de para encontrar esses intervalos:
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
Como houve uma mudança de positivo para negativo entre e , sabemos que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos testar para e :
  • Para : (negativo)
  • Para : (positivo)
Novamente, houve uma mudança de negativo para positivo entre e , indicando outra raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora que temos dois intervalos onde há raízes, vamos aplicar o algoritmo da bisseção em cada um deles para encontrar as raízes com precisão de .

Passo 6

Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo

Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está entre .
Passo 6.2: Novo ponto médio:
Calculamos :
A raiz está entre .
Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que .

Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo

Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está entre .
Passo 6.2: Novo ponto médio:
Calculamos :
A raiz está entre .
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 7

Após várias iterações do método da bisseção nos dois intervalos, chegamos às seguintes aproximações para as raízes:
  • Raiz no intervalo : Aproximadamente
  • Raiz no intervalo : Aproximadamente

Passo 8

Agora, vamos usar o método da falsa posição para encontrar as mesmas raízes com a mesma precisão de .

Passo 9

Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo

Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
Substituindo os valores:
Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de .

Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo

Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
Calculamos e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de .

Resposta

Utilizando os métodos da bisseção e da falsa posição, as raízes da equação com precisão de são aproximadamente:

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Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
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