Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão
. Em seguida repita com o método da falsa posição.
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a equação
usando dois métodos numéricos: o algoritmo da bisseção e o método da falsa posição. Esses métodos ajudam a encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolvê-las facilmente de forma exata. Para isso, vamos precisar identificar intervalos onde a função muda de sinal e então aplicar cada método para chegar perto das soluções com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Queremos encontrar os valores de
onde
. Para isso, precisamos encontrar intervalos onde a função muda de negativos para positivos ou vice-versa, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos testar alguns valores de
para encontrar esses intervalos:
- Para
: (positivo) - Para
: (negativo)
Como houve uma mudança de positivo para negativo entre
e
, sabemos que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos testar para
e
:
- Para
: (negativo) - Para
: (positivo)
Novamente, houve uma mudança de negativo para positivo entre
e
, indicando outra raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora que temos dois intervalos onde há raízes, vamos aplicar o algoritmo da bisseção em cada um deles para encontrar as raízes com precisão de
.
Passo 6
Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo
Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
e
, a raiz está entre
.
Passo 6.2: Novo ponto médio:
Calculamos
:
A raiz está entre
.
Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que
.
Aplicando o Algoritmo da Bisseção no Intervalo
Passo 6.1: Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
e
, a raiz está entre
.
Passo 6.2: Novo ponto médio:
Calculamos
:
A raiz está entre
.
Continuamos esse processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 7
Após várias iterações do método da bisseção nos dois intervalos, chegamos às seguintes aproximações para as raízes:
- Raiz no intervalo
: Aproximadamente - Raiz no intervalo
: Aproximadamente
Passo 8
Agora, vamos usar o método da falsa posição para encontrar as mesmas raízes com a mesma precisão de
.
Passo 9
Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo
Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
Substituindo os valores:
Calculamos
e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de
.
Aplicando o Método da Falsa Posição no Intervalo
Passo 9.1: Calculamos a falsa posição:
Calculamos
e ajustamos o intervalo conforme o sinal.
Continuamos esse processo até atingir a precisão de
.
Resposta
Utilizando os métodos da bisseção e da falsa posição, as raízes da equação
com precisão de
são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão .
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão
Seja uma função
onde
e a raiz vale 9. Explique por que o método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com
próxima de 10.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos como intervalo inicial?
O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos
Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo
está variando a velocidade constante
Depois de
segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
.
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de , a velocidade
a qual
varia.
Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de