Deseja-se resolver a equação:
e^x-3 x^2=0
que possui as duas raízes r1=-0,4589623 e r2=0,91, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão 10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da secante. Esse método faz parte da matemática numérica e é utilizado para encontrar raízes de equações não lineares. Para aplicar a secante, precisamos de duas aproximações iniciais próximas da raiz que queremos encontrar. No nosso caso, vamos focar na raiz próxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
f(x) = e^x - 3x^2
Queremos encontrar um valor de tal que .

Passo 3

O método da secante requer duas aproximações iniciais. Vamos escolher e como nossos pontos de partida, já que sabemos que a raiz está próxima de 4.

Passo 4

Calculamos os valores da função nesses pontos:
f(x0) = e^3.5 - 3(3.5)^2 approx 33.1155 - 36.75 = -3.6345
f(x1) = e^4.5 - 3(4.5)^2 approx 90.0171 - 60.75 = 29.2671

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar a próxima aproximação x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 4.5 - 29.2671 cdot 4.5 - 3.529.2671 - (-3.6345) approx 4.5 - 29.2671 cdot 132.9016 approx 4.5 - 0.889 approx 3.611
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos repetir o processo com f(x2) = e^3.611 - 3(3.611)^2 approx 37.224 - 39.166 = -1.942 e x3 = 3.611 - (-1.942) cdot 3.611 - 4.5-1.942 - 29.2671 approx 3.611 - (-1.942) cdot -0.889-31.2091 approx 3.611 - 0.055 approx 3.566 :

Passo 7

Continuamos iterando até que a diferença entre as aproximações seja menor que x approx 3.512 . Após algumas iterações, chegamos a:
onde .

Resposta

A raiz da equação próxima de 4, com precisão , é aproximadamente .

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