Seja uma função
onde
e a raiz vale 9. Explique por que o método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com
próxima de 10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função
onde sabemos que
, a derivada em 10 é
, e a raiz da função está em
. A gente vai usar isso para entender por que o método de Newton não é uma boa opção se a gente começar com um valor inicial (
) bem perto de 10. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton e como a derivada da função impacta esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que fazem
. A fórmula básica para atualizar o valor de
é:
Isso significa que a gente usa a derivada da função (
) para ajustar o próximo palpite
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os dados que temos:
e
. Se a gente escolher
como nosso ponto de partida, vamos tentar aplicar a fórmula do método de Newton:
Mas aí surge um problema: divisão por zero não é permitida na matemática! Isso significa que a fórmula não funciona quando
.
Passo 4
Além disso, mesmo que
não seja exatamente 10, mas algo próximo, o valor de
vai ser bem próximo de zero. Isso faz com que o denominador na fórmula do método de Newton seja muito pequeno, o que pode causar atualizações gigantescas ou instáveis para
. Em outras palavras, o método pode não convergir para a raiz e, em vez disso, oscilar ou se afastar dela.
Passo 5
Por fim, a raiz verdadeira está em
, que está relativamente longe de 10. Começar perto de 10, onde a derivada é zero, não nos ajuda a chegar na raiz de maneira eficiente. O método de Newton depende de uma boa informação sobre a derivada para ajustar os palpites, e aqui, a derivada não está ajudando nada.
Resposta
O método de Newton não é uma boa alternativa quando começamos com
próximo de 10 porque a derivada
torna a fórmula do método inviável (causando divisão por zero) e, mesmo com
perto de 10, a derivada próxima de zero leva a atualizações instáveis, impedindo a convergência para a raiz em
.
Exercícios relacionados
Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão .
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão
Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão . Em seguida repita com o método da falsa posição.
Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão