Seja uma função f(x) onde f(10)=100, f^prime(10)=0 e a raiz vale 9. Explique por que o método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com x0 próxima de 10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função onde sabemos que , a derivada em 10 é , e a raiz da função está em . A gente vai usar isso para entender por que o método de Newton não é uma boa opção se a gente começar com um valor inicial ( ) bem perto de 10. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton e como a derivada da função impacta esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) que fazem . A fórmula básica para atualizar o valor de é:
Isso significa que a gente usa a derivada da função ( ) para ajustar o próximo palpite .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os dados que temos: x1 = 10 - f(10)f'(10) = 10 - 1000 e . Se a gente escolher como nosso ponto de partida, vamos tentar aplicar a fórmula do método de Newton:
Mas aí surge um problema: divisão por zero não é permitida na matemática! Isso significa que a fórmula não funciona quando .

Passo 4

Além disso, mesmo que não seja exatamente 10, mas algo próximo, o valor de vai ser bem próximo de zero. Isso faz com que o denominador na fórmula do método de Newton seja muito pequeno, o que pode causar atualizações gigantescas ou instáveis para . Em outras palavras, o método pode não convergir para a raiz e, em vez disso, oscilar ou se afastar dela.

Passo 5

Por fim, a raiz verdadeira está em , que está relativamente longe de 10. Começar perto de 10, onde a derivada é zero, não nos ajuda a chegar na raiz de maneira eficiente. O método de Newton depende de uma boa informação sobre a derivada para ajustar os palpites, e aqui, a derivada não está ajudando nada.

Resposta

O método de Newton não é uma boa alternativa quando começamos com próximo de 10 porque a derivada torna a fórmula do método inviável (causando divisão por zero) e, mesmo com perto de 10, a derivada próxima de zero leva a atualizações instáveis, impedindo a convergência para a raiz em .

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