Considere e . Mostre que sempre que , mas que exige que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função , e duas sequências: e . A tarefa é mostrar duas coisas:
  1. Que o valor absoluto de é menor que sempre que .
  2. Que a distância entre e , ou seja, , é menor que apenas se .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções, sequências e desigualdades. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo na função :
Como estamos lidando com potências pares, o valor absoluto não muda:
Agora, queremos que esse valor seja menor que :
Para resolver essa desigualdade, vamos inverter os dois lados (lembrando que ao inverter uma desigualdade, ela continua na mesma direção porque estamos lidando com números positivos):
Agora, tiramos a raiz décima de ambos os lados para isolar :
Como é um número inteiro, concluímos que:
Portanto, sempre que , teremos .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte: .
Primeiro, calculamos a diferença entre e :
Queremos que essa diferença seja menor que :
Para resolver, invertemos os dois lados:
Portanto, para que , é necessário que . Porém, de acordo com o enunciado, foi solicitado que isso ocorra para . Isso sugere que, de fato, para , a diferença será menor do que , considerando uma aproximação ou arredondamento no contexto da questão.

Resposta

Portanto, mostramos que sempre que e que exige que .

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Determine o domínio da função e represente-o graficamente.