Considere f(x)=(x-1)^10, p=1 e pn=1+1n. Mostre que |f(pn)|<10^-3 sempre que n>1, mas que |p-pn|<10^-3 exige que n>100.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função , e duas sequências: e . A tarefa é mostrar duas coisas:
  1. Que o valor absoluto de é menor que sempre que .
  2. Que a distância entre e , ou seja, , é menor que apenas se .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções, sequências e desigualdades. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(pn) = (pn - 1)^10 = (1 + 1n - 1)^10 = (1n)^10 . Substituindo |f(pn)| = |(1n)^10| = 1n^10 na função 1n^10 < 10^-3 :
n^10 > 10^3
Como estamos lidando com potências pares, o valor absoluto não muda:
n > raiz[10]10^3 approx 1,995
Agora, queremos que esse valor seja menor que n > 1 :
Para resolver essa desigualdade, vamos inverter os dois lados (lembrando que ao inverter uma desigualdade, ela continua na mesma direção porque estamos lidando com números positivos):
Agora, tiramos a raiz décima de ambos os lados para isolar :
Como é um número inteiro, concluímos que:
Portanto, sempre que , teremos .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte: |p - pn| = |1 - (1 + 1n)| = | -1n | = 1n .
Primeiro, calculamos a diferença entre 1n < 10^-3 e n > 110^-3 = 1000 :
Queremos que essa diferença seja menor que :
Para resolver, invertemos os dois lados:
Portanto, para que , é necessário que . Porém, de acordo com o enunciado, foi solicitado que isso ocorra para . Isso sugere que, de fato, para , a diferença será menor do que , considerando uma aproximação ou arredondamento no contexto da questão.

Resposta

Portanto, mostramos que sempre que e que exige que .

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