Verifique se uma sequência
converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se uma sequência
converge, ou seja, tem um limite, então esse limite é único. Para isso, vamos usar o conceito de convergência de sequências e uma técnica chamada “prova por contradição”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que a sequência
converge para um número
se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
, a diferença
.
Passo 3
Agora, queremos provar que esse limite
é único. Para isso, vamos supor que existam dois limites diferentes, digamos
e
, onde
. Essa é a base da prova por contradição: assumimos que a conclusão que queremos provar é falsa e buscamos uma contradição.
Passo 4
Se
converge para
, então para
, existe um
tal que, para todo
,
.
Passo 5
Da mesma forma, se
converge para
, então para o mesmo
, existe um
tal que, para todo
,
.
Passo 6
Tomando
, para todo
, teremos tanto
quanto
.
Passo 7
Usando a desigualdade triangular, temos:
Isso implica que
, o que é uma contradição, já que uma quantidade não pode ser menor que ela mesma.
Resposta
Portanto, a suposição de que existem dois limites diferentes leva a uma contradição. Logo, o limite de uma sequência convergente é único.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
. Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que
).
Seja
. Verifique que
é monótona e limitada
. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler
).
Verifique que a Série Numérica, de termo geral
é divergente.
Considere
e
. Mostre que
sempre que
, mas que
exige que
.