Verifique se uma sequência (xn) converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se uma sequência (xn) converge, ou seja, tem um limite, então esse limite é único. Para isso, vamos usar o conceito de convergência de sequências e uma técnica chamada “prova por contradição”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que a sequência (xn) converge para um número L se, para todo epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para todo n >= N, a diferença |xn - L| < epsilon.

Passo 3

Agora, queremos provar que esse limite L é único. Para isso, vamos supor que existam dois limites diferentes, digamos L e M, onde L neq M. Essa é a base da prova por contradição: assumimos que a conclusão que queremos provar é falsa e buscamos uma contradição.

Passo 4

Se (xn) converge para L, então para epsilon = |L - M|2 > 0, existe um N1 tal que, para todo n >= N1, |xn - L| < |L - M|2.

Passo 5

Da mesma forma, se (xn) converge para M, então para o mesmo epsilon = |L - M|2 > 0, existe um N2 tal que, para todo n >= N2, |xn - M| < |L - M|2.

Passo 6

Tomando N = max(N1, N2), para todo n >= N, teremos tanto |xn - L| < |L - M|2 quanto |xn - M| < |L - M|2.

Passo 7

Usando a desigualdade triangular, temos:
|L - M| = |L - xn + xn - M| <= |L - xn| + |xn - M| < |L - M|2 + |L - M|2 = |L - M|
Isso implica que |L - M| < |L - M|, o que é uma contradição, já que uma quantidade não pode ser menor que ela mesma.

Resposta

Portanto, a suposição de que existem dois limites diferentes leva a uma contradição. Logo, o limite de uma sequência convergente é único.

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