Verifique se uma sequência converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se uma sequência converge, ou seja, tem um limite, então esse limite é único. Para isso, vamos usar o conceito de convergência de sequências e uma técnica chamada “prova por contradição”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que a sequência converge para um número se, para todo , existe um número natural tal que, para todo , a diferença .

Passo 3

Agora, queremos provar que esse limite é único. Para isso, vamos supor que existam dois limites diferentes, digamos e , onde . Essa é a base da prova por contradição: assumimos que a conclusão que queremos provar é falsa e buscamos uma contradição.

Passo 4

Se converge para , então para , existe um tal que, para todo , .

Passo 5

Da mesma forma, se converge para , então para o mesmo , existe um tal que, para todo , .

Passo 6

Tomando , para todo , teremos tanto quanto .

Passo 7

Usando a desigualdade triangular, temos:
Isso implica que , o que é uma contradição, já que uma quantidade não pode ser menor que ela mesma.

Resposta

Portanto, a suposição de que existem dois limites diferentes leva a uma contradição. Logo, o limite de uma sequência convergente é único.

Exercícios relacionados

Considere a sequência . Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que ).
Seja . Verifique que é monótona e limitada . (Dica: Estude a série que gera o número de Euler ).
Verifique que a Série Numérica, de termo geral é divergente.
Considere e . Mostre que sempre que , mas que exige que .