Verifique que a Série Numérica, de termo geral
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série numérica cuja expressão de cada termo é
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa série, conhecida como série harmônica, é divergente, ou seja, ela não converge para um número finito. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das séries, especificamente o Teste da Série Harmônica e o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser divergente. Uma série
é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos vai para o infinito. Se não tende a nenhum número específico, dizemos que a série é divergente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Harmônica. A série harmônica é:
Esse teste nos diz que se os termos da série não tendem a zero suficientemente rápido, a série não converge.
Passo 4
Para verificar isso de forma mais rigorosa, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral para determinar a convergência. Definimos a função contínua, positiva e decrescente
, e calculamos a integral:
Passo 5
Calculando a integral:
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Resposta
Portanto, a série numérica
é divergente.
Exercícios relacionados
Verifique se uma sequência
converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).
Considere a sequência
. Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que
).
Considere
e
. Mostre que
sempre que
, mas que
exige que
.
Verifique a sequência
converge para 0 , com
, a sequência
também converge quando
e
diverge quando
. Pode-se afirmar que estas sequẽncias são monótonas e limitadas?