Verifique que a Série Numérica, de termo geral é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série numérica cuja expressão de cada termo é . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa série, conhecida como série harmônica, é divergente, ou seja, ela não converge para um número finito. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das séries, especificamente o Teste da Série Harmônica e o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos vai para o infinito. Se não tende a nenhum número específico, dizemos que a série é divergente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Harmônica. A série harmônica é:
Esse teste nos diz que se os termos da série não tendem a zero suficientemente rápido, a série não converge.

Passo 4

Para verificar isso de forma mais rigorosa, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral para determinar a convergência. Definimos a função contínua, positiva e decrescente , e calculamos a integral:

Passo 5

Calculando a integral:
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

Portanto, a série numérica é divergente.

Exercícios relacionados

Verifique se uma sequência converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).
Considere a sequência . Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que ).
Considere e . Mostre que sempre que , mas que exige que .
Verifique a sequência converge para 0 , com , a sequência também converge quando e diverge quando . Pode-se afirmar que estas sequẽncias são monótonas e limitadas?