Verifique a sequência converge para 0 , com , a sequência também converge quando e diverge quando . Pode-se afirmar que estas sequẽncias são monótonas e limitadas?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três sequências:
  1. que, à medida que aumenta para o infinito, converge para 0.
  2. que também converge para 0 quando tende ao infinito.
  3. que não converge quando vai para o infinito.
A pergunta é: Essas sequências são monótonas e limitadas? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e limitada.

Passo 2

Monotonia: Uma sequência é monótona se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Ou seja, é monotonicamente crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monotonicamente decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior.
Limitada: Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de certos limites. Existe um número tal que todos os termos da sequência satisfazem .
Agora, vamos analisar cada sequência uma por uma.

Passo 3

Sequência
  • Monotonia: Vamos ver se a sequência está sempre aumentando ou diminuindo. À medida que aumenta, o valor de diminui. Por exemplo:
    • :
    • :
    • :
    Como podemos ver, os termos estão diminuindo conforme aumenta. Então, é monotonicamente decrescente.
  • Limitada: Sabemos que sempre será positivo e, à medida que cresce, se aproxima de 0. Assim, todos os termos satisfazem . Portanto, é limitada.

Passo 4

Sequência
  • Monotonia: Essa sequência oscila porque o termo alterna entre 1 e -1. Vamos ver alguns termos:
    • :
    • :
    • :
    Os termos estão alternando de positivo para negativo e vice-versa, então a sequência não é monótona.
  • Limitada: Mesmo com a alternância, o valor absoluto de diminui à medida que aumenta, já que se aproxima de 0. Todos os termos satisfazem . Portanto, é limitada.

Passo 5

Sequência
  • Monotonia: Similar à sequência , o termo faz a sequência oscilar entre 1 e -1:
    • :
    • :
    • :
    A sequência está alternando sem tendência de aumento ou diminuição contínua, então não é monótona.
  • Limitada: Todos os termos da sequência são ou 1 ou -1. Então, satisfazem . Portanto, é limitada.

Resposta

  • é monotonicamente decrescente e limitada.
  • não é monótona porém é limitada.
  • não é monótona porém é limitada.

Exercícios relacionados

Considere e . Mostre que sempre que , mas que exige que .
Verifique que a Série Numérica, de termo geral é divergente.
Suponha que representa a distribuição de temperatura no plano .
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Seja uma sequência de número reais. Ela se chama uma Sequência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real , pode-se obter um tal que e implica que . Com isso, verifique os itens abaixo:
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.