Verifique a sequência
converge para 0 , com
, a sequência
também converge quando
e
diverge quando
. Pode-se afirmar que estas sequẽncias são monótonas e limitadas?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três sequências:
-
que, à medida que aumenta para o infinito, converge para 0. -
que também converge para 0 quando tende ao infinito. -
que não converge quando vai para o infinito.
A pergunta é: Essas sequências são monótonas e limitadas? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e limitada.
Passo 2
Monotonia: Uma sequência é monótona se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Ou seja, é monotonicamente crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monotonicamente decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior.
Limitada: Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de certos limites. Existe um número
tal que todos os termos da sequência satisfazem
.
Agora, vamos analisar cada sequência uma por uma.
Passo 3
Sequência
-
Monotonia: Vamos ver se a sequência está sempre aumentando ou diminuindo. À medida que
aumenta, o valor de diminui. Por exemplo: -
: -
: -
:
Como podemos ver, os termos estão diminuindo conformeaumenta. Então, é monotonicamente decrescente. -
-
Limitada: Sabemos que
sempre será positivo e, à medida que cresce, se aproxima de 0. Assim, todos os termos satisfazem . Portanto, é limitada.
Passo 4
Sequência
-
Monotonia: Essa sequência oscila porque o termo
alterna entre 1 e -1. Vamos ver alguns termos: -
: -
: -
:
Os termos estão alternando de positivo para negativo e vice-versa, então a sequência não é monótona. -
-
Limitada: Mesmo com a alternância, o valor absoluto de
diminui à medida que aumenta, já que se aproxima de 0. Todos os termos satisfazem . Portanto, é limitada.
Passo 5
Sequência
-
Monotonia: Similar à sequência
, o termo faz a sequência oscilar entre 1 e -1: -
: -
: -
:
A sequência está alternando sem tendência de aumento ou diminuição contínua, então não é monótona. -
-
Limitada: Todos os termos da sequência
são ou 1 ou -1. Então, satisfazem . Portanto, é limitada.
Resposta
-
é monotonicamente decrescente e limitada. -
não é monótona porém é limitada. -
não é monótona porém é limitada.
Exercícios relacionados
Considere
e
. Mostre que
sempre que
, mas que
exige que
.
Verifique que a Série Numérica, de termo geral
é divergente.
Suponha que
representa a distribuição de temperatura no plano
.
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Seja
uma sequência de número reais. Ela se chama uma Sequência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real
, pode-se obter um
tal que
e
implica que
. Com isso, verifique os itens abaixo:
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.