Suponha que T(x, y)=1raiz16-x^2-y^2( ^circ C) representa a distribuição de temperatura no plano x y.
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma função que representa a distribuição de temperatura no plano T(x, y) = 1raiz16 - x^2 - y^2 ( ^circ C) :
O objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, identificar para quais valores de e a função está definida. Além disso, precisamos representar esse domínio graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o domínio de uma função. O domínio são todos os pares para os quais a função retorna um valor real e válido.
Nesse caso, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para que a função esteja bem definida:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Vamos analisar a condição dentro da raiz quadrada:
16 - x^2 - y^2 > 0
Isso significa que:
x^2 + y^2 < 16
Esta é a equação de um círculo com raio (já que ) no plano . Portanto, os valores de e devem estar dentro desse círculo para que a expressão seja positiva e a função esteja definida.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o denominador não seja zero:
raiz16 - x^2 - y^2 neq 0
Isso ocorre quando:
16 - x^2 - y^2 neq 0 implies x^2 + y^2 neq 16
Ou seja, os pontos que estão exatamente na fronteira do círculo (onde ) não fazem parte do domínio, pois tornariam o denominador zero, o que não é permitido.

Passo 5

Combinando as duas condições:
x^2 + y^2 < 16
x^2 + y^2 neq 16
Concluímos que o domínio da função é o interior do círculo de raio no plano .

Resposta

O domínio da função consiste em todos os pontos que estão dentro do círculo de raio no plano . Graficamente, isso é representado pela região interna ao círculo definido por .

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