Suponha que representa a distribuição de temperatura no plano .
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma função que representa a distribuição de temperatura no plano :
O objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, identificar para quais valores de e a função está definida. Além disso, precisamos representar esse domínio graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o domínio de uma função. O domínio são todos os pares para os quais a função retorna um valor real e válido.
Nesse caso, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para que a função esteja bem definida:
O denominador não pode ser zero.
O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Vamos analisar a condição dentro da raiz quadrada:
Isso significa que:
Esta é a equação de um círculo com raio (já que ) no plano . Portanto, os valores de e devem estar dentro desse círculo para que a expressão seja positiva e a função esteja definida.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que o denominador não seja zero:
Isso ocorre quando:
Ou seja, os pontos que estão exatamente na fronteira do círculo (onde ) não fazem parte do domínio, pois tornariam o denominador zero, o que não é permitido.
Passo 5
Combinando as duas condições:
Concluímos que o domínio da função é o interior do círculo de raio no plano .
Resposta
O domínio da função consiste em todos os pontos que estão dentro do círculo de raio no plano . Graficamente, isso é representado pela região interna ao círculo definido por .