Encontre o polinômio interpolador na forma de Newton que passe pelos pontos (1,0),(2,2),(4,12),(5,20).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio interpolador na forma de Newton que passa pelos pontos (1,0), (2,2), (4,12) e (5,20). Isso está relacionado ao estudo de interpolação polinomial, especificamente usando a fórmula de Newton. Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos em uma tabela para facilitar os cálculos. Temos os pares (xi, yi):
c|c xi & yi hline 1 & 0 2 & 2 4 & 12 5 & 20

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A fórmula geral para a diferença dividida de ordem k é:
f[xi, xi+1, dots, xi+k] = f[xi+1, dots, xi+k] - f[xi, dots, xi+k-1]xi+k - xi
Vamos começar com as diferenças de primeira ordem.

Passo 4

Diferenças de primeira ordem:
f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 2 - 02 - 1 = 2
f[x2, x3] = 12 - 24 - 2 = 102 = 5
f[x3, x4] = 20 - 125 - 4 = 81 = 8

Passo 5

Diferenças de segunda ordem:
f[x1, x2, x3] = f[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1 = 5 - 24 - 1 = 33 = 1
f[x2, x3, x4] = 8 - 55 - 2 = 33 = 1

Passo 6

Diferenças de terceira ordem:
f[x1, x2, x3, x4] = f[x2, x3, x4] - f[x1, x2, x3]x4 - x1 = 1 - 15 - 1 = 04 = 0

Passo 7

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
P(x) = f[x1] + f[x1, x2](x - x1) + f[x1, x2, x3](x - x1)(x - x2) + dots
Substituindo os valores que encontramos:
P(x) = 0 + 2(x - 1) + 1(x - 1)(x - 2) + 0(x - 1)(x - 2)(x - 4)
Como o último termo é multiplicado por zero, podemos ignorá-lo.

Passo 8

Agora, vamos simplificar o polinômio:
P(x) = 2(x - 1) + 1(x - 1)(x - 2)
Vamos expandir:
P(x) = 2x - 2 + (x - 1)(x - 2)
Primeiro, multiplique (x - 1)(x - 2):
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2
Então:
P(x) = 2x - 2 + x^2 - 3x + 2 = x^2 - x

Resposta

O polinômio interpolador na forma de Newton que passa pelos pontos dados é:
P(x) = x^2 - x

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