Encontre o polinômio interpolador na forma de Newton que passe pelos pontos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio interpolador na forma de Newton que passa pelos pontos , , e . Isso está relacionado ao estudo de interpolação polinomial, especificamente usando a fórmula de Newton. Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os pontos em uma tabela para facilitar os cálculos. Temos os pares :
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A fórmula geral para a diferença dividida de ordem é:
Vamos começar com as diferenças de primeira ordem.
Passo 4
Diferenças de primeira ordem:
Passo 5
Diferenças de segunda ordem:
Passo 6
Diferenças de terceira ordem:
Passo 7
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Como o último termo é multiplicado por zero, podemos ignorá-lo.
Passo 8
Agora, vamos simplificar o polinômio:
Vamos expandir:
Primeiro, multiplique :
Então:
Resposta
O polinômio interpolador na forma de Newton que passa pelos pontos dados é: