Considere a função
. Encontre o menor inteiro positivo
de tal forma que com pelo menos
iterações eu possa encontrar uma raiz de
no intervalo
com uma precisão
pelo Método da Bissecção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método da Bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Aqui, o objetivo é achar o menor número inteiro de iterações necessário para encontrar uma raiz da função
no intervalo
com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o Método da Bissecção funciona. Esse método divide repetidamente o intervalo onde a raiz está localizada ao meio, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde a raiz está). A cada divisão, a precisão aumenta, reduzindo o tamanho do intervalo.
Passo 3
A fórmula para determinar o número mínimo de iterações
necessárias para alcançar uma precisão
no Método da Bissecção é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo inicial. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, calculamos
:
E sabemos que
.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular
e
:
Passo 7
Dividindo esses valores:
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.
Passo 8
Portanto, o menor número inteiro de iterações necessário é 18.
Resposta
O menor inteiro positivo
necessário é 18 iterações.
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, utilizando como aproximações iniciais
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.
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