Considere a função . Encontre o menor inteiro positivo de tal forma que com pelo menos iterações eu possa encontrar uma raiz de no intervalo com uma precisão pelo Método da Bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método da Bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Aqui, o objetivo é achar o menor número inteiro de iterações necessário para encontrar uma raiz da função no intervalo com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o Método da Bissecção funciona. Esse método divide repetidamente o intervalo onde a raiz está localizada ao meio, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde a raiz está). A cada divisão, a precisão aumenta, reduzindo o tamanho do intervalo.

Passo 3

A fórmula para determinar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar uma precisão no Método da Bissecção é:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial. No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, calculamos :
E sabemos que .

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular e :

Passo 7

Dividindo esses valores:
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Passo 8

Portanto, o menor número inteiro de iterações necessário é 18.

Resposta

O menor inteiro positivo necessário é 18 iterações.

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