Considere a função p4(x)=x^4-12 x^3-65 x^2+1200 x-3500. Encontre o menor inteiro positivo n de tal forma que com pelo menos n iterações eu possa encontrar uma raiz de p4(x) no intervalo [4,6] com uma precisão varepsilon=10^-5 pelo Método da Bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método da Bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Aqui, o objetivo é achar o menor número inteiro de iterações necessário para encontrar uma raiz da função no intervalo com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o Método da Bissecção funciona. Esse método divide repetidamente o intervalo onde a raiz está localizada ao meio, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal (ou seja, onde a raiz está). A cada divisão, a precisão aumenta, reduzindo o tamanho do intervalo.

Passo 3

A fórmula para determinar o número mínimo de iterações n >= ln(b - avarepsilon)ln(2) necessárias para alcançar uma precisão no Método da Bissecção é:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial. No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, calculamos b - a = 6 - 4 = 2 :
E sabemos que .

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
n >= ln(210^-5)ln(2) = ln(200000)ln(2)

Passo 6

Vamos calcular ln(200000) approx 12.2061 e ln(2) approx 0.6931 :

Passo 7

Dividindo esses valores:
n >= 12.20610.6931 approx 17.61
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Passo 8

Portanto, o menor número inteiro de iterações necessário é 18.

Resposta

O menor inteiro positivo necessário é 18 iterações.

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